La face cachée du Rubik's Cube

Droite projective et action ...

On rappelle que la droite projective de F₅ est:
P¹(F₅) = { 0,1,2,3,4,∞ } en plus les opérations dans F₅ on ajoute les opérations suivantes:

ou encore 0 x ∞ = ∞ x 0 = 1 et on peut dresser les tables '+' et 'X' de P¹(F₅)

addition

	multiplication

On définit alors 2 fonctions suivantes sur P¹(F₅)
f : P¹(F₅) → P¹(F₅)

g : P¹(F₅) → P¹(F₅)
g(x) = 3x + 3
et
calculons les valeurs des ces fonctions (n'oubliez pas qu'on est dans P¹(F₅))

f(0) = 4
f(1) = 0
f(2) = 6/3 = 2
f(3) = 7/4 = 2/4 = 1/2 = 3 (2.3=6=1 (mod 5) , donc 3 est l'invers de 2)
(4) = 8/5 = 3/0 = ∞

f(∞) = 1
x =     0, 1, 2, 3, 4, ∞
f(x) = 4, 0, 2, 3, ∞, 1
et
g(0) = 3
g(1) = 3+3 = 6 = 1 (mod 5) , on est dans P¹(F₅)
g(2) = 4 (6+3=9=4 (mod 5)
g(3) = 2
g(4) = 0
g(∞) = ∞
x =     0, 1, 2, 3, 4, ∞
g(x) = 3, 1, 4, 2, 0, ∞

On associe f(x) comme la rotation H et g(x) à la rotation D et voyons comment placer les éléments de P¹(F₅) sur le cube.
On a f(2)=2, f(3)=3 ça signifie que 2,3 ne sont pas perturbés par la rotation H, donc ils sont sur Bas-Droite
On a g(1)=1, g(∞) = ∞ ça signifie que 1,∞ ne sont pas perturbés par la rotation D, donc ils sont sur Haut-Gauche
Donc 0, et 4 sur Haut-Droite.
* 1,∞ sur Haut-Gauche et f(∞) = 1 ⇒ (HAG)=∞ ⇒ (HGP)=1
* 0,4 sur Haut-Droite et f(1) = 0 ⇒ (HPD)=0 ⇒ (HDA)=4
* 2,3 sur Bas-Droite et g(0) = 3 ⇒ (BDP)=3 ⇒ (BAD)=2

Ainsi les éléments de P¹(F₅) sont sur les sommets comme indique la fig ci-desous


Observons bien, f(x) agit exactement comme la rotation H agit sur les sommets du Rubik's Cube !!! g(x) aussi , elle agit exactement comme la rotation D agit sur les sommets !!! ce n'est pas merveilleur ça ? on peut regarder l'effet de H et D sur les sommets comme des fonctions homographiques sur P¹(F₅) ou des matrices !!!


D → g(x) = 3x + 3

p=(∞,1,0,4) permutation associé au rotation H
q=(0,3,2,4) permutation associé au rotation D
comment pourrait-on soupçonner que l'emplacement (HAG) représente ∞ : (HAG) = ∞ et (HPD)=0 !!!
Il y a encore quelque chose d'étrange .... voyons
Soit

et son centre


PGL₂(F₅) = GL₂(F₅)/Z(GL₂(F₅))
En gros, ça signifie, dans GL₂(F₅) on a comprimé le centre en un point!

celà veut dire aussi qu'on considère les multiples (par un scalaire k≠0) sont les même:



comme pour les fractions on a 1/7 = 2/14 = 3/21 ...
puis

et son centre


PSL₂(F₅) = SL₂(F₅)/Z(SL₂(F₅))

Rappel







Soit K un sous groupe de M, les mouvements des pièces (càd on ignore les orientations) gènèrent des permutations sur les sommets et les arêtes, K gènère donc en deux sous groupes: un sous groupe de S₈ (pour les sommets) qu'on va noter K_s , et un sous groupe de S₁₂ (pour les arêtes ) qu'on notera K_a.
Considèrons maintenant le sous-groupe < H,D > de M, engendé par les rotations H et D. Le but de ce paragrhaphe est de démontrer que
< H,D >_s = PGL₂(F₅) (D. Singmaster)
< H,D >_a = S₇ (D. Singmaster)

1. Formule H ordonne à p (permutation) de bouger les éléments de P1(F5) 2. Matrice T ordonne à f(x) (fonction) de bouger les éléments de P1(F5)

Lorsqu'on fait une rotation H ou D , on permute les sommets (par p et q) comme les fonctions f(x) et g(x) agissent sur les sommets , Mais les fonctions f(x) et g(x) ne sont rien d'autres que les matrices T et Q. On a donc:
< H,D >_s = < p,q > = < T,Q >

Quelques rappels
On sait que:
1.|PGL₂(F₅)| = 5(5²-1) = 120 et |PSL₂(F₅)| = 5(5²-1)/pgcd(2,5-1) = 60
2.PSL₂(F₅) est engengré par les matrices de transvections(°)

(°)NOTE: définition matrice de tranvection: c'est une matrice diagonale=1 et un seul a quelque part et 0 ailleurs, par ex


démonstration:
I. < T,Q > ⊂ PGL₂(F₅) évident
II. PSL₂(F₅) ⊂ < T,Q >
Pour cela il suffit d'exprimer les matrices

en fonction de T et Q
On rapelle que dans PGL₂(F₅) on a


Montrons d'abord :

on va montrer par récurrence:
pour a=1 , c'est vrai

Supposons que la formule soit vraie pour a,

et montrons qu'elle reste encore vraie pour (a+1)
Allons y

La formule est ainsi démontrée, on fait de même pour l'autre matrice.
Essayons maintenant exprimer les matrices

en fonction de T,Q
Allons y


ça y est on a gagné car les matrices

s'expriment en fonction de T, Q


III. On a : PSL₂(F₅) ⊂ < T,Q > ⊂ PGL₂(F₅)
on sait que entre PSL₂(F₅) et PGL₂(F₅) il n' a rien (car l'indice=2), donc soit < T,Q > = PGL₂(F₅) soit < T,Q > = PSL₂(F₅)
pour montrer que < T,Q > ≠ PSL₂(F₅) il suffit de trouver un élémént de < T,Q > et qui n'est pas dans PSL₂(F₅). Prenons T par exemple, on a dét(T) = 1-4 = -3 = 2 (mod 5)
et sous sa forme générale dét(T) = 2.k² ( on n'a pas simplifié la fraction f(x) par k)
si T ∈PSL₂(F₅) dét(T)=1 ⇒ 2.k² = 1 ⇒ k² = 1/2 = 3 (mod 5) imopssible, car les carrés dans F₅ sont :
0² = 0 , 1²=1 , 2²=4 , 3²=9=4, 4²=16=1 (mod 5)
il n'y a pas de k² qui vaut 3 dans F₅, donc T n'est pas dans PSL₂(F₅) on a forcement
< T,Q > = PGL₂(F₅)

Et voila .....
< H,D >_s = PGL₂(F₅) (D. Singmaster)

On a < H,D >_a ⊂ S₇ , pour montrer < H,D >_a = S₇ , analysons un peu la situation :
* Les sommets et les arêtes sont en phase (loi de parité)
* H,D ne pivotent les arêtes, donc Z₂ n'intervient pas,
* L'orientation des sommets est fixé dèsqu'il y a 5 sommets bien orientés (loi des twists).
* < H,D > = < H,D >_a x PGL₂(F₅)/2 x 3⁶/3

D'autre part le programme GAP ( .::download GAP ici::. ), nous donne le cardinal de
|< H,D >| = 73483200 finalement nous avons
|< H,D >_a| = x
|PGL₂(F₅)| = 120

On divise par 2 (arêtes, sommets en phase) et 3 (loi des twists) .

( Rappelez vous pour |G|


on divise par 2 à cause de la loi sig(u)=sig(v)
on divise par 3 à cause de la loi ∑ y_i = 0 (mod 3)
on divise par 2 à cause de la loi ∑ x_i = 0 (mod 2) )

d'où
x = (73483200 x 6)/(120 x 729) = 5040 = 7! = |S₇| d'où
< H,D >_a = S₇ (D. Singmaster)

on a donc:
< H,D > = S₇ x PGL₂(F₅) x Z₃⁶ / (2x3) et on a bien

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DMJ: 30/04/2024