L'indicatrice du Pyraminx

Analyser le problème

Voyons comment on dit 2 Pyraminx sont identiques ...

Ces 2 Pyraminx sont identiques

On passe de a à b par la rotation S(120°)

En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la différence, pour nous c'est un Pyraminx à 3 couleurs rouge-vert et blanc. Il n'y a pas d'Avant, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Pyraminx "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Pyraminx fixe il y a un Avant, un Bas ....

Pour un Pyraminx "mobile", on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations
Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation S(120°)=d'axe sommet-centre à 120°:

La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Pyraminx ?

Le groupe des déplacements du Pyraminx D(P)

2 types de rotations

Rotation S: Axe sommet-centre	Rotation A: Axe arête-arête

Il y a deux types de rotations sur le Pyraminx: les rotations d'axe sommet-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), mais avant tout introduisons-nous une notation: T_kⁿ , signifie on a: n orbites à k éléments

Rotation S: Axe sommet-centre
- il y a 4 rotations S(120°) ==> 1 orbite à 3 éléments, 1 orbite à 1 élément ce qui donne
4T₃T₁
- il y a 4 rotations S(-120°) ==> 1 orbite à 3 éléments, 1 orbite à 1 élément ce qui donne
4T₃T₁

Rotation A: Axe arête-arête
- il y a 3 rotations A(180°) ==> 2 orbites à 2 éléments, ce qui donne
3T₂²

Et bien sûr
L'identité id
- il y a un id ==> 4 orbites à 1 élément, ce qui donne
T₁⁴

Soit au total: 8+3+1(identité) = 12 rotations, ces rotations forment un groupe D(P) (identique à A₄ = D(P) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Pyraminx. il laisse invariant le Pyraminx.

La fonction définie par:
K = (8T₃T₁ + 3T₂² + T₁⁴)/12
se nomme l'indicatrice du Pyraminx ou l'indicateur des cycles de D(P). Pourquoi des 'cycles' ??
En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: T_kⁿ , signifie on a: n cycles de longeur k
voyons pour:

Rotation S: Axe sommet-centre
- il y a 4 rotations S(120°) ==> les faces bougent ==> (D,A,G)(B) ==> un 3-cycle, un 1-cycle ce qui donne
4T₃T₁
- il y a 4 rotations S(-120°) ==> les faces bougent ==> (G,A,D)(B) ==> un 3-cycle, un 1-cycle ce qui donne
4T₃T₁

Rotation A: Axe arête-arête
- il y a 3 rotations A(180°) ==> les faces bougent ==> (A,B)(G,D) ==> deux 2-cycle, ce qui donne
3T₂²

L'identité id
- il y a un id ==> (A)(B)(G)(D) ce qui donne
T₁⁴
Remarque importante: Pour (D,A,G)(B) on pourait dire on a: D=A=G, B on a identifié les faces D=A=G on a donc en fait que 2 faces D et B aulieu de 4, ce genre d'identification arrive très souvent comme par exemple les modulo , on identifie 3=6=9=12=..... c'est comme si vous avez plusieurs feuilles (faces) et elles sont collées (en dessous) ensemble pour former en une seule feuille!

L'indicatrice du Pyraminx

On rappelle que ça vaut:

K = (8T₃T₁ + 3T₂² + T₁⁴)/12

T_kⁿ , signifie on a: n orbites à k éléments
ou encore
T_kⁿ , signifie on a: n x k-cycles, n cycles de longeur k

Fonction coloriage µ, µ*

A partir de l'indicatrice K, et grâce au lemme de Burnside et le théorème de Polya on a 2 fonctions de coloriage du Pyraminx
La fonction µ définie par:
µ ==> dans K, on remplace T_k = c où c=le nombre de couleurs -lemme de Burnside-
µ = (8c.c + 3c² + c⁴)/12
µ = (11c² + c⁴)/12

Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X₁, X₂, X₃
La fonction µ* définie par:
µ* ==> Dans K , on remplace T_k = (X₁^k+X₂^k+X₃^k) -théorème de Polya-
µ* = [8(X₁³+X₂³+X₃³)(X₁+X₂+X₃)
+3(X₁²+X₂²+X₃²)²
+(X₁+X₂+X₃)⁴]/12

Réponse à nos questions

- Combien de Pyraminx différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ?
µ = (11c² + c⁴)/12
pour c=3
µ = (11.3² + 3⁴)/12
µ = 15 !!!!

- Combien de Pyraminx différents si on le peint avec a couleurs X₁, b couleurs X₂, c couleurs X₃?
Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X₁^a X₂^b X₃^c, dans notre cas c'est X₁X₂²X₃ bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous.

Commentaire

Pour trouver l'indicatrice du Pyraminx on est obligé de passer par le groupe de déplacement du Pyraminx , une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ

µ = (11c² + c⁴)/12

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DMJ: 07/01/2024