Les secrets du Pyraminx

20 Avr 2018

Le Groupe du Pyraminx G (G,.) = le groupe du Pyraminx :
* G c'est l'ensemble des configurations provenant de M = < G,D,H,P,g,d,h,p >
* La loi '.' définie par : (u,x,c,s)(u',x',c',s') = (uu', x+u(x'),c+c',s+s')
uu' = u' o u
p(x) = (xp(1), xp(2), ..., xp(n)) , p=permutation, x=vecteur

L'ensembles des configurations G+

Sur cette partie on s'intéresse sur les arêtes. Imaginons qu'on a supprmé le core , les arêtes se déplacent sans contraites, on peut par ex permuter deux arêtes ... Une arête peut balader par tout on a donc affaire à S6 ensuite une arête a 2 orientations on a donc affaire à Z26 finalement on est en face d'un truc comme ça:
G+ = S6 x Z26 , c'est l'ensemble des congigurations (une sorte de motif des autocollants)

La loi '.' dans (G+, .)

On voudrait définir une loi de composition '.' sur G+ afin que (G+,.) soit un groupe.
Soient (u,x) et (u',x') deux éléments de G+
(u,x)(u',x') = (w,z)
Comment trouver w et z ?
Pour w on voit facilement que w = uu' , car si on déplace les pièces par u puis par u' , on déplace les pièces bien par uu'.
Pour trouver z c'est plus compliqué ... ça se fait en plusieurs étapes . Allons-y mais d'abord on doit préciser les rotations de base {G,D,H,P} et fixer le twist :

rotation G

Rotations de base : {G,D,H,P}
Fixer le twist : B(as)=j(aune), A(vant)=v(vert), G(auche)=o(range), D(roite)=r(rouge)

1. Marquage des facettes

Imaginez d'une part, qu'on a des "emplacements" à 2 facettes marquées comme indique la fig1 ci-dessous

fig1 diagramme de marquages

2. Couleur dominante

Et d'autre part, les arêtes (numérotées) ayant 2 couleurs (comme indique la fig2 ) dont l'une est dominante.
Les couleurs dominantes : jaune > vert > orange > rouge (les couleurs dont le marquage est zéro 0)

arêtes numérotés fig2

Voici les 6 arêtes avec leur couleur dominante en première:
x1=(vr), x2=(vo), x3=(or),
x4=(jv), x5=(jo), x6=(jr)

Couleur dominante "*"

3. Orientation des arêtes

Les arêtes xi se baladent d'emplacement en emplacement pour se loger dans des emplacements (BA), (GD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 flip) , sinon elle vaut 0 zéro, par exemple l'arête (vr)=x1 se place dans (BA) avec vert=B, alors x1 vaut 0 (0 flip) car la couleur dominante vert est sur la facette marquée 0, de même si l'arête (jo)=x5 se trouve dans (AG) avec jaune=G, alors x5 = 1 (1 flip) car la couleur dominante jaune se trouve sur 1 .

x1=0, x5=1

4. Loi de composition

On note : e•D = (p,a)
Pour dire que la rotation de base D engendre l'état (p,a) où p=permutation et a=orientation,
pour trouver p et a, on utilise le diagramme des numérotations et le diagramme des marquages.

diagramme des numérotations diagramme des numérotations abrégées

On voit que pour la rotation D, p vaut : p = 1->6->4 = (1,6,4)
Pour trouver l'orientation a , on utilise le diagramme de marquage

diagramme des marquages vecteur orientation a

et on voit que a = (1,0,0,0,0,1)
finalement on a:
e•D = (p,a) avec
p = (1,6,4)
a = (1,0,0,0,0,1)
Ainsi on peut trouver les étas associés pour les autres rotations G,H,P.

e•G = (p,a)
p = (2,4,5)
a = (0,0,0,1,1,0)

e•H = (p,a)
p = (1,2,3)
a = (1,0,1,0,0,0)

e•P = (p,a)
p = (6,3,5)
a = (0,0,0,0,1,1)

D'après le marquage on a:
(BA)=(x3,1+x3), (AD)=(x2,1+x2), (BD)=(x5,1+x5).
Les xi sont placés sur la couleur dominante.

Avant la rotation D Après la rotation D

x'1 = 1+x6
x'4 = x1
x'6 = 1+x4

Or pour la rotation D on a:
Permutation: p = (1,6,4)
Orientation: a = (1,0,0,0,0,1)
on en déduit:
x' = a + p(x)
où p(x) = (xp(1), xp(2), ..., xp(6) )

Chaque formule F (état (u',x')) commence par une rotation de base par ex D (état (p,a)) et le reste T (état (u,x)) on a :
F = AT
(u',x') = (p,a)(u,x) = (pu,a+p(x))
ce qui suggère la loi dans (G+, .) est :
(u,x)(u',x') = (uu',x+u(x'))


Les 2 lois du Pyraminx

1. (F) : Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un nombre pair

∑ xi = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,x3,...,x6)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

==> (i) Pour une rotation de base, D par ex et l'état (p,a) associé à D avec
a = (1,0,0,0,0,1) on a bien a=0 (mod 2)
On peut vérifier ainsi que le vecteur d'orientation des autres rotations de base est aussi un multiple de 2.

==> (ii) Soit F≠I Une formule avec l'état (u',x') associé . On peut toujours d'écrire : T (état (u,x)) et une rotation de base par ex D (état (p,a)), il est donc de la forme:
F = TD
d'où
(u',x') = (u,x)(p,a) = (up,x+u(a))

x' = x + u(a)

On va démontrer la loi par récurrence sur la longueur de la formule.

¤ Pour n=1 , les rotations de base ont tous un vecteur d'orientation un multiplie de 2 d'après (i)
¤ Supposons à l'étape n , formule T , état (u,x) avec x=0 (mod 2) ; Hypothèse de Récurrence
¤ Voyons si à l'étape n+1, formule F , état (u',x') la loi vérifie encore. Or d'après (ii) on a:
x' = x + u(a)
comme
x = 0 (mod 2) ;HR
et a = 0 (mod 2) ==> u(a) = 0 (mod 2) ,u ne change rien sur le modulo
donc
x' = 0 (mod 2)

la 1ère loi est ainsi démontrée.

2. (P) : Loi de parité: les permutations des arêtes sont paires

Démonstration : La démonstration se fait en 2 étapes.
A1. Une rotation de base D par exemple, fait permuter 3 arêtes
Soit p = la permutation assiociée à D

On a p = 1->6->4 = (1,6,4) c'est une parmutation paire comme une formule est composée de rotations de base donc la permutation q associée à une formule est paire (la somme des nombres pairs est paire)
On a donc montré qu'une formule gènère une permutation paire q ∈ A6.

A2. Inversement, étant donnée une permutation paire q, il faut trouver une formule associée.
Pour cela on utilise la propriété suivante:

Propriété : La famille des 3-cyles (a,b,x) où a,b donnés et x ∈ {1,2,3,4,5,6}-{a,b} engendre A6

En cherchant un peu on trouve les 3-cycles désirés
[HD] => u = (1,4,3)
P[HD]P' => v = (1,4,6)
P'[HD]P => s = (1,4,5)
[D'G] => t = (1,4,2)
Donc pour n'importe permutation paire q, elle est exprimée par u,v,s,t donc on trouve bien une formule associée à q.
Autrement dit <G,D,H,P> donne exactement A6

La 2ème loi est ainsi démontrée

REMARQUE
Trouver la famille (a,b,x) où a,b fixes et x ≠ a,b n'est pas évident à trouver à priorie. mais il y a une technique que nous avons déjà utilisée dans la section "MATHSCUBING: Square-1"

Le groupe d'arêtes du Pyraminx

Le groupe d'arêtes G du Pyraminx est par définition :
G = {s∈G+ | s=e•V , V∈M}
On démontre le théorème suivant:
Théorème fondamental de la Cubologie :
G = {s∈G+ | s vérifie (F), (P)}

Résumé
G+ = S6 x Z26 c'est l'ensemble des configurations
et un élément de G est quelque chose comme ça:
s=(u,x)∈G+
u ∈S6, et x ∈Z26
qui vérifie:
1. (F) : ∑ xi = 0 (mod 2)
2. (P) : sig(u) = 1

|G| = |A6| x |Z25| (arêtes)
|G| = 6! 26/2x2 = 11520


L'ensemble des autocollants X

Il y a une façon de vérifier si G vaut bien ça G = A6 x Z25, on vérifie par ex si |G| est correct.

Soit X = {1,2,3, ..., 12} l'ensemble des autocollants numérotées 1,2,... ,12 comme indique la fig ci-dessous

L'ensemble des autocollants X

Deux rotations étendues définies par:
Γ =(AD)+
Ω = (AD,AG)
A chaque rotation de base {G,D,H,P} on associe une permutation {pG, pD, pH, pP} de Sx et à chaque rotation étendues {Γ, Ω} on associe une permutation étendue pΓ, pΩ.
Soit Λ l'ensembe des permutations engendrées par {pH, pB, pA, pP, pG, pD}
et Λ+ engendré par { pG, pD, pH, pP, pΓ, pΩ }
Λ = < pG, pD, pH, pP > et
Λ+ = < pG, pD, pH, pP, pΓ, pΩ >

On a :
+| = |G+|
|Λ| = |G|

Permutations standards
pG = (2,4,11)(8,10,5)
pD = (1,12,4)(7,6,10)
pH = (1,8,9)(7,2,3)
pP = (3,5,12)(9,11,6)

Permutations étendues (violer les lois)
pΓ = (1,7)
pΩ = (1,2)(7,8)

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/4.4.12.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP4R4
C:\Users\nom> cd\gap4r4\bin
C:\gap4r4\bin>gap < gap_pyraminx.txt

gap_pyraminx.txt:

# 2arêtes
pG := (2,4,11)(8,10,5) ;
pD := (1,12,4)(7,6,10) ;
pH := (1,8,9)(7,2,3) ;
pP := (3,5,12)(9,11,6) ;
#Permutations étendues (violer les lois)
pGamma := (1,7) ;
pOmega := (1,2)(7,8);
LAMBDAPLUS := Group( pG, pD, pH, pP, pGamma, pOmega );
LAMBDA := Group( pG, pD, pH, pP);
Print( "\n" );
Print( "|LAMBDA+| = ",Size( LAMBDAPLUS ), "\n" );
Print( "|LAMBDA| = ", Size( LAMBDA ) , "\n" );
Print( "N = ", 2 * 2 , "\n" );
Print( "|G+| = ", Factorial(6) * (2^6) , "\n" );
Print( "|G| = |G+|/N = ", (Factorial(6) * (2^6)) / ( 2 * 2 ), "\n" );

Le GAP nous donne bien
+| = |G+| = 46080
|Λ| = |G| = 11520

Le groupe Slice du Pyraminx


rotation G numérotation des autocollants

On intégré maintenant les centres , on peut concidèrer les 3 centres autour d'un sommet comme un gros sommet à 3 orientations , comme on a 4 gros sommets on a donc affaire à Z34, on pose :
G+ = S6 x Z26 x Z34 = 3732480
M = < G,D,H,P >
N = 4
G = A6 x Z25 x Z34 = 933120
|G| = |G+| / N

#gap_pyraminx.txt
#per de base: 2arete,1centre
pG = (2,4,11)(8,10,5)(21,15,16);
pD = (1,12,4)(7,6,10)(17,14,24) ;
pH = (1,8,9)(7,2,3)(22,13,20) ;
pP = (3,5,12)(9,11,6)(23,19,18) ;
#permutations étendues (violer les lois)
pΓ = (1,7) ;
pΩ = (1,2)(7,8);

Λ+ = < pG, pD, pH, pP, pΓ, pΩ > ;
Λ = < pG, pD, pH, pP > ;

rotation tranche


Le groupe du Pyraminx


rotation G rotation g

On intégré maintenant les sommets , les sommets ont 3 orientations , comme on a 4 sommets on a donc affaire à Z34, on pose :
G+ = S6 x Z26 x Z34 x Z34 = 302330880
M = < G,D,H,P,g,d,h,p >
N = 4
G = A6 x Z25 x Z34 x Z34 = 75582720
|G| = |G+| / N

#gap_pyraminx.txt
#per de base: 2arete,1centre
pG = (2,4,11)(8,10,5)(21,15,16);
pD = (1,12,4)(7,6,10)(17,14,24) ;
pH = (1,8,9)(7,2,3)(22,13,20) ;
pP = (3,5,12)(9,11,6)(23,19,18) ;
#permutations étendues (violer les lois)
pΓ = (1,7) ;
pΩ = (1,2)(7,8);
#permutation sommet
pg = (30,28,29);
pd = (33,31,32);
ph = (27,25,26);
pp = (35,34,36);

Λ+ = < pG, pD, pH, pP, pg, pd, ph, pp, pΓ, pΩ > ;
Λ = < pG, pD, pH, pP, pg, pd, ph, pp > ;


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