Les secrets du Pyraminx

L'ensembles des configurations G⁺

Sur cette partie on s'intéresse seulement sur les arêtes. Imaginons qu'on a supprmé le core , les arêtes se déplacent sans contraites, on peut par ex permuter deux arêtes ... Une arête peut balader par tout on a donc affaire à S₆ ensuite une arête a 2 orientations on a donc affaire à Z₂⁶ finalement on est en face d'un truc comme ça:
G⁺ = S₆ x Z₂⁶ , c'est l'ensemble des congigurations (une sorte de motif des autocollants)

La loi '.' dans (G⁺, .)

On voudrait définir une loi de composition '.' sur G⁺ afin que (G⁺,.) soit un groupe.
Soient (u,x) et (u',x') deux éléments de G⁺
(u,x)(u',x') = (w,z)
Comment trouver w et z ?
Pour w on voit facilement que w = uu' , car si on déplace les pièces par u puis par u' , on déplace les pièces bien par uu'.
Pour trouver z c'est plus compliqué ... ça se fait en plusieurs étapes . Allons-y mais d'abord on doit préciser les rotations de base {g,d,h,p} et fixer le twist :

rotation g

Rotations de base : {g,d,h,p}
Fixer le twist : (B)as=(j)aune, (A)vant=(v)ert, (G)auche=(o)range, (D)roite)=(r)rouge

1. Marquage des facettes

Imaginez d'une part, qu'on a des "emplacements" à 2 facettes marquées comme indique la fig1 ci-dessous

fig1	diagramme de marquages

2. Couleur dominante

Et d'autre part, les arêtes (numérotées) ayant 2 couleurs (comme indique la fig2 ) dont l'une est dominante.
Les couleurs dominantes : jaune > vert > orange > rouge (les couleurs dont le marquage est zéro 0)

arêtes numérotés	fig2

Voici les 6 arêtes avec leur couleur dominante en première:
x₁=(vr), x₂=(vo), x₃=(or),
x₄=(jv), x₅=(jo), x₆=(jr)

Couleur dominante "*"

3. Orientation des arêtes

Les arêtes x_i se baladent d'emplacement en emplacement pour se loger dans des emplacements (BA), (GD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 flip) , sinon elle vaut 0 zéro, par exemple l'arête (vr)=x₁ se place dans (BA) avec vert=B, alors x₁ vaut 0 (0 flip) car la couleur dominante vert est sur la facette marquée 0, de même si l'arête (jo)=x₅ se trouve dans (AG) avec jaune=G, alors x₅ = 1 (1 flip) car la couleur dominante jaune se trouve sur 1 .

x1=0, x5=1

4. Loi de composition

On note : e•d = (j,a)
Pour dire que la rotation de base D engendre l'état (j,a) où j=permutation et a=orientation,
pour trouver j et a, on utilise le diagramme des numérotations et le diagramme des marquages.

diagramme des numérotations	diagramme des numérotations abrégées

On voit que pour la rotation d, j vaut : j = 1->6->4 = (1,6,4)
Pour trouver l'orientation a , on utilise le diagramme de marquage

diagramme des marquages	vecteur orientation a

et on voit que a = (1,0,0,0,0,1)
finalement on a:
e•d = (j,a) avec
j = (1,6,4)
a = (1,0,0,0,0,1)
Ainsi on peut trouver les étas associés pour les autres rotations g,h,p.

e•g = (j,a)
j = (2,4,5)
a = (0,0,0,1,1,0)

e•h = (j,a)
j = (1,2,3)
a = (1,0,1,0,0,0)

e•p = (j,a)
j = (6,3,5)
a = (0,0,0,0,1,1)

D'après le marquage on a:
(BA)=(x₃,1+x₃), (AD)=(x₂,1+x₂), (BD)=(x₅,1+x₅).
Les x_i sont placés sur la couleur dominante.

Avant la rotation d	Après la rotation d

x'₁ = 1+x₆
x'₄ = x₁
x'₆ = 1+x₄

Or pour la rotation d on a:
Permutation: j = (1,6,4)
Orientation: a = (1,0,0,0,0,1)
on en déduit:
x' = a + j(x)
où j(x) = (x_j(1), x_j(2), ..., x_j(6) )

Chaque formule V (état (u',x')) commence par une rotation de base par ex d (état (j,a)) et le reste T (état (u,x)) on a :
V = dT
(u',x') = (j,a)(u,x) = (ju,a+j(x))
ce qui suggère la loi dans (G⁺, .) est :
(u,x)(u',x') = (uu',x+u(x'))

Les 2 lois du Pyraminx

1. (F) : Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un nombre pair

∑ x_i = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x₁,x₂,x₃,...,x₆)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

==> (i) Pour une rotation de base, d par ex et l'état (j,a) associé à d avec
a = (1,0,0,0,0,1) on a bien a=0 (mod 2)
On peut vérifier ainsi que le vecteur d'orientation des autres rotations de base est aussi un multiple de 2.

==> (ii) Soit V≠I Une formule avec l'état (u',x') associé . On peut toujours mettre V sous la forme : V=Td où T (état (u,x)) et une rotation de base par ex d (état (j,a)), il est donc de la forme:
V = Td
d'où
(u',x') = (u,x)(j,a) = (uj,x+u(a))

x' = x + u(a)

On va démontrer la loi par récurrence sur la longueur de la formule.

¤ Pour n=1 , les rotations de base ont tous un vecteur d'orientation un multiplie de 2 d'après (i)
¤ Supposons à l'étape n , formule T , état (u,x) avec x=0 (mod 2) ; Hypothèse de Récurrence
¤ Voyons si à l'étape n+1, formule V , état (u',x') la loi vérifie encore. Or d'après (ii) on a:
V = Td ==> x' = x + u(a)
comme
x = 0 (mod 2) ;HR
et a = 0 (mod 2) ==> u(a) = 0 (mod 2) ,u ne change rien sur le modulo
donc
x' = 0 (mod 2)

la 1ère loi est ainsi démontrée.

2. (P) : Loi de parité: les permutations des arêtes sont paires

Démonstration : La démonstration se fait en 2 étapes.
A1. Une rotation de base d par exemple, fait permuter 3 arêtes
Soit j = la permutation assiociée à d

On a j = 1->6->4 = (1,6,4) c'est une parmutation paire comme une formule V est composée de rotations de base donc la permutation q associée à une formule V est paire (la somme des nombres pairs est paire)
On a donc montré qu'une formule gènère une permutation paire q ∈ A₆.

A2. Inversement, étant donnée une permutation paire q, il faut trouver une formule V associée.
Pour cela on utilise la propriété suivante:

Propriété : La famille des 3-cyles (a,b,x) où a,b donnés et x ∈ {1,2,3,4,5,6}-{a,b} engendre A₆

En cherchant un peu on trouve les 3-cycles désirés
[hd] => u = (1,4,3)
p[hd]p' => v = (1,4,6)
p'[hd]p => s = (1,4,5)
[d'g] => t = (1,4,2)
Donc pour n'importe permutation paire q, elle est exprimée par u,v,s,t donc on trouve bien une formule associée à q.
Autrement dit <g,d,h,p> donne exactement A₆

La 2ème loi est ainsi démontrée

REMARQUE
Trouver la famille (a,b,x) où a,b fixes et x ≠ a,b n'est pas évident à trouver à priorie. mais il y a une technique que nous avons déjà utilisée dans la section "MATHSCUBING: Square-1"

Le groupe d'arêtes du Pyraminx

Le groupe d'arêtes G du Pyraminx est par définition :
G = {s∈G⁺ | s=e•V , V∈M}
On démontre le théorème suivant:
Théorème fondamental de la Cubologie :
G = {s∈G⁺ | s vérifie (F), (P)}

Résumé
G⁺ = S₆ x Z₂⁶ c'est l'ensemble des configurations
et un élément de G est quelque chose comme ça:
s=(u,x)∈G⁺
u ∈S₆, et x ∈Z₂⁶
qui vérifie:
1. (F) : ∑ x_i = 0 (mod 2)
2. (P) : sig(u) = 1

|G| = |A₆| x |Z₂⁵| (arêtes)
|G| = 6! 2⁶/2x2 = 11520

L'ensemble des autocollants X

Il y a une façon de vérifier si G vaut bien ça G = A₆ x Z₂⁵, on vérifie par ex si |G| est correct.

Soit X = {1,2,3, ..., 12} l'ensemble des autocollants numérotées 1,2,... ,12 comme indique la fig ci-dessous

L'ensemble des autocollants X

Deux rotations étendues définies par:
Γ =(AD)⁺
Ω = (AD,AG)
A chaque rotation de base {g,d,h,p} on associe une permutation {p_g, p_d, p_h, p_p} de S_x et à chaque rotation étendues {Γ, Ω} on associe une permutation étendue p_Γ, p_Ω.
Soit Λ l'ensembe des permutations engendrées par {p_h, p_b, p_a, p_p, p_g, p_d}
et Λ⁺ engendré par { p_g, p_d, p_h, p_p, p_Γ, p_Ω }
Λ = < p_g, p_d, p_h, p_p > et
Λ⁺ = < p_g, p_d, p_h, p_p, p_Γ, p_Ω >

On a :
|Λ⁺| = |G⁺|
|Λ| = |G|

Permutations standards
p_g = (2,4,11)(8,10,5)
p_d = (1,12,4)(7,6,10)
p_h = (1,8,9)(7,2,3)
p_p = (3,5,12)(9,11,6)

Permutations étendues (violer les lois)
p_Γ = (1,7)
p_Ω = (1,2)(7,8)

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/4.4.12.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP4R4
C:\Users\nom> cd\gap4r4\bin
C:\gap4r4\bin>gap < gap_pyraminx.txt

gap_pyraminx.txt:

# (arête)(arête)
pg := (2,4,11)(8,10,5) ;
pd := (1,12,4)(7,6,10) ;
ph := (1,8,9)(7,2,3) ;
pp := (3,5,12)(9,11,6) ;
#Permutations étendues (violer les lois)
pGamma := (1,7) ;
pOmega := (1,2)(7,8);
LAMBDAPLUS := Group( pg, pd, ph, pp, pGamma, pOmega );
LAMBDA := Group( pg, pd, ph, pp);
Print( "\n" );
Print( "|LAMBDA+| = ",Size( LAMBDAPLUS ), "\n" );
Print( "|LAMBDA| = ", Size( LAMBDA ) , "\n" );
Print( "N = ", 2 * 2 , "\n" );
Print( "|G+| = ", Factorial(6) * (2^6) , "\n" );
Print( "|G| = |G+|/N = ", (Factorial(6) * (2^6)) / ( 2 * 2 ), "\n" );

Le GAP nous donne bien
|Λ⁺| = |G⁺| = 46080
|Λ| = |G| = 11520

Le groupe Glissant (Slice group) du Pyraminx

rotation g	numérotation des autocollants

On intégré maintenant les centres , on peut concidèrer les 3 centres autour d'un sommet comme un gros sommet à 3 orientations , comme on a 4 gros sommets on a donc affaire à Z₃⁴, on pose :
G⁺ = S₆ x Z₂⁶ x Z₃⁴ , |G⁺| = 3732480
M = < g,d,h,p >
N = 4
Le groupe Glissant G du Pyraminx est par définition :
G = {s∈G⁺ | s=e•V , V∈M}
On démontre le théorème suivant:
Théorème fondamental de la Cubologie :
G = {s∈G⁺ | s vérifie (F), (P)}

G = A₆ x Z₂⁵ x Z₃⁴ , |G| = 933120
|G| = |G⁺| / N

#gap_pyraminx.txt
#per de base: (arete)(arete)(centre)
p_g = (2,4,11)(8,10,5)(21,15,16);
p_d = (1,12,4)(7,6,10)(17,14,24) ;
p_h = (1,8,9)(7,2,3)(22,13,20) ;
p_p = (3,5,12)(9,11,6)(23,19,18) ;
#permutations étendues (violer les lois)
p_Γ = (1,7) ;
p_Ω = (1,2)(7,8);

Λ⁺ = < p_g, p_d, p_h, p_p, p_Γ, p_Ω > ;
Λ = < p_g, p_d, p_h, p_p > ;

rotation tranche

Le groupe du Pyraminx

rotation G	rotation g

On intégré maintenant les sommets , les sommets ont 3 orientations , comme on a 4 sommets on a donc affaire à Z₃⁴, on pose :
G⁺ = S₆ x Z₂⁶ x Z₃⁴ x Z₃⁴, |G⁺| = 302330880
M = < G,D,H,P,g,d,h,p >
N = 4
Le groupe G du Pyraminx est par définition :
G = {s∈G⁺ | s=e•V , V∈M}
On démontre le théorème suivant:
Théorème fondamental de la Cubologie :
G = {s∈G⁺ | s vérifie (F), (P)}

G = A₆ x Z₂⁵ x Z₃⁴ x Z₃⁴ , |G| = 75582720
|G| = |G⁺| / N

#gap_pyraminx.txt
#per de base: (arete)(arete)(centre)
p_g = (2,4,11)(8,10,5)(21,15,16);
p_d = (1,12,4)(7,6,10)(17,14,24) ;
p_h = (1,8,9)(7,2,3)(22,13,20) ;
p_p = (3,5,12)(9,11,6)(23,19,18) ;
#permutation sommet
p_G = (30,28,29);
p_D = (33,31,32);
p_H = (27,25,26);
p_P = (35,34,36);
#permutations étendues (violer les lois)
p_Γ = (1,7) ;
p_Ω = (1,2)(7,8);

Λ⁺ = < p_G, p_D, p_H, p_P, p_g, p_d, p_h, p_p, p_Γ, p_Ω > ;
Λ = < p_G, p_D, p_H, p_P, p_g, p_d, p_h, p_p > ;

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DMJ: 13/04/2024