Les secrets du Pyraminx

L'étendu G⁺ du Pyraminx

Si on observe bien le Pyraminx on voit que:

1. Les sommets ne servent strictement à rien !!!
2. Les centres ne servent pas grande chose non plus! car ils tournent autour de leur sommet c'est tout!

Finalement ceux qui nous intéressent ce sont des arêtes. Imaginons qu'on a supprmé le core , les arêtes se déplacent sans contraites, on peut par ex permuter deux arêtes ... Une arête peut balader par tout on a donc affaire à S₆ ensuite une arête a 2 orientations on a donc affaire à Z₂⁶ finalement on est en face d'un truc comme ça:
G⁺ = S₆ x Z₂⁶ , c'est l'ensemble de tous les états du Pyraminx y compris le démontage/remontage du puzzle, ce qu'on appelle l'étendu du Pyraminx (Pyraminx sans core)

La loi '.' de (G⁺,.)

On voudrait définir une loi de composition '.' sur G⁺ afin que fasse (G⁺,.) un groupe.
Soient (u,x) et (u',x') deux éléments de G⁺
(u,x)(u',x') = (w,z)
Comment trouver w et z ?
Pour w on voit facilement que w = uu' , car si on déplace les pièces par u puis par u' , on déplace les pièces bien par uu'.
Pour trouver z c'est plus compliqué ... ça se fait en plusieurs étapes . Allons-y mais d'abord on doit préciser les rotations de base {G,D,H,P} et fixer le twist :

Rotations de base : {G,D,H,P}
Fixer le twist : B(as)=j(aune), A(vant)=v(vert), G(auche)=o(range), D(roite)=r(rouge)

1. Marquage des facettes

Imaginez d'une part, que le Pyraminx possède des "emplacements-arêtes" à 2 facettes marquées comme indique la fig1 ci-dessous

fig1	tab de marquages

2. Couleur dominante

Et d'autre part, les arêtes (numérotées) ayant 2 couleurs (comme indique la fig2 ) dont l'une est dominante.
Les couleurs dominantes : jaune > vert > orange > rouge (les couleurs dont le marquage est zéro 0)

arêtes numérotés	fig2

Voici les 6 arêtes avec leur couleur dominante en première:
x₁=(vr), x₂=(vo), x₃=(or),
x₄=(jv), x₅=(jo), x₆=(jr)

Couleur dominante "*"

3. Orientation des arêtes

Les arêtes x_i se baladent d'emplacement en emplacement pour se loger dans des emplacements (BA), (GD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 flip) , sinon elle vaut 0 zéro, par exemple l'arête (vr)=x₁ se place dans (BA) avec vert=B, alors x₁ vaut 0 (0 flip) car la couleur dominante vert est sur la facette marquée 0, de même si l'arête (jo)=x₅ se trouve dans (AG) avec jaune=G, alors x₅ = 1 (1 flip) car la couleur dominante jaune se trouve sur 1 .

x1=0, x5=1

4. Loi de composition

On note : e•D = (p,a)
Pour dire que la rotation de base D engendre l'état (p,a) où p=permutation et a=orientation,
pour trouver p et a, on utilise la table des numérotations et la table des marquages.

tab des numérotations	tab des numérotations abrégées

On voit que pour la rotation D, p vaut : p = 1->6->4 = (1,6,4)
Pour trouver l'orientation a , on utilise la table de marquage

tab des marquages	vecteur orientation a

et on voit que a = (1,0,0,0,0,1)
finalement on a:
e•D = (p,a) avec
p = (1,6,4)
a = (1,0,0,0,0,1)
Ainsi on peut trouver les étas associés pour les autres rotations G,H,P.

e•G = (p,a)
p = (2,4,5)
a = (0,0,0,1,1,0)

e•H = (p,a)
p = (1,2,3)
a = (1,0,1,0,0,0)

e•P = (p,a)
p = (6,3,5)
a = (0,0,0,0,1,1)

D'après le marquage on a:
(BA)=(x₃,1+x₃), (AD)=(x₂,1+x₂), (BD)=(x₅,1+x₅).
Les x_i sont placés sur la couleur dominante.

Avant la rotation D	Après la rotation D

x'₁ = 1+x₆
x'₄ = x₁
x'₆ = 1+x₄

Or pour la rotation D on a:
Permutation: p = (1,6,4)
Orientation: a = (1,0,0,0,0,1)
on en déduit:
x' = a + p(x)

Chaque formule F (état (u',x')) commence par une rotation de base par ex D (état (p,a)) et le reste T (état (u,x)) on a :
F = AT
(u',x') = (p,a)(u,x) = (pu,a+p(x))
ce qui suggère la loi dans (G⁺, .) est :
(u,x)(u',x') = (uu',x+u(x'))

Les 2 lois du Pyraminx

1. Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un nombre pair

∑ x_i = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x₁,x₂,x₃,...,x₆)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

==> (1) Pour une rotation de base, D par ex et l'état (p,a) associé à D avec
a = (1,0,0,0,0,1) on a bien a=0 (mod 2)
On peut vérifier ainsi que le vecteur d'orientation des autres rotations de base est aussi un multiple de 2.

==> (2) Un mouvement F (état (u',x')) du Pyraminx se compose une partie "début" T (état (u,x)) et une rotation de base par ex D (état (p,a)), il est donc de la forme:
F = TD
d'où
(u',x') = (u,x)(p,a)

x' = x + u(a)

On va démontrer la loi par récurrence sur la longueur de la formule.

¤ Pour n=1 , les rotations de base ont tous un vecteur d'orientation un multiplie de 2 d'après (1)
¤ Supposons à l'étape n , formule T , état (u,x) avec x=0 (mod 2) ; Hypothèse de Récurrence
¤ Voyons si à l'étape n+1, formule F , état (u',x') la loi vérifie encore. Or d'après (2) on a:
x' = x + u(a)
comme
x = 0 (mod 2) ;HR
et a = 0 (mod 2) ==> u(a) = 0 (mod 2) ,u ne change rien sur le modulo
donc
x' = 0 (mod 2)

la 1ère loi est ainsi démontrée.

2. Loi de parité: les permutations des arêtes sont paires

Démonstration : La démonstration se fait en 2 étapes.
A1. Une rotation de base D par exemple, fait permuter 3 arêtes
Soit p = la permutation assiociée à D

On a p = 1->6->4 = (1,6,4) c'est une parmutation paire comme une formule est composée de rotations de base donc la permutation q associée à une formule est paire (la somme des nombres pairs est paire)
On a donc montré qu'une formule gènère une permutation paire q ∈ A₆.

A2. Inversement, étant donnée une permutation paire q, il faut trouver une formule associée.
Pour cela on utilise la propriété suivante:

Propriété : La famille des 3-cyles (a,b,x) où a,b donnés et x ∈ {1,2,3,4,5,6}-{a,b} engendre A₆

En cherchant un peu on trouve les 3-cycles désirés
[HD] => u = (1,4,3)
P[HD]P' => v = (1,4,6)
P'[HD]P => s = (1,4,5)
[D'G] => t = (1,4,2)
Donc pour n'importe permutation paire q, elle est exprimée par u,v,s,t donc on trouve bien une formule associée à q.
Autrement dit <G,D,H,P> donne exactement A₆

La 2ème loi est ainsi démontrée

REMARQUE
Trouver la famille (a,b,x) où a,b fixes et x ≠ a,b n'est pas évident à trouver à priorie. mais il y a une technique que nous avons déjà utilisée dans la section "Les twists et les maths: Square-1"

Le groupe du Pyraminx

Le groupe G du Pyraminx est un sous-groupe de G⁺, ce sont des états produits par les rotations de base {G,D,H,P}.
càd le Pyraminx avec le core, les déplacements de pièces ont des contraintes (par le core) par ex on ne peut pas permuter deux arêtes !!

Résumé
G⁺ = S₆ x Z₂⁶ c'est l'ensemble de tous les états (standards + étendus) du Pyraminx.
et un élément de G est quelque chose comme ça:
s=(u,x)∈G⁺
u ∈S₆, et x ∈Z₂⁶
qui vérifie:
1. ∑ x_i = 0 (mod 2)
2. sig(u)=1

|G| = |A₆| x |Z₂⁵| (pas de sommets ni les centres)
|G| = 6! 2⁶/2x2 = 11520

==>Si on veut compter les centres , alors on peut concidèrer les 3 centres autour d'un sommet comme un gros centre, ce gros centre a 3 orientations , comme on a 4 gros centres on a donc 3⁴ = 81
11520 x 3⁴ = 933 120

==> Et si on veut compter aussi les sommets , alors chaque sommet a 3 orientations , comme on a 4 sommets, on a donc 3⁴ = 81
933 120 x 3⁴ = 75 582 720

L'ensemble des étiquettes X

Il y a une façon de vérifier si G vaut bien ça G = A₆ x Z₂⁵, on vérifie par ex si |G| est correct.

Soit X = {1,2,3, ..., 12} l'ensemble des étiquettes numérotées 1,2,... ,12 comme indique la fig ci-dessous

L'ensemble des étiquettes X

Deux rotations étendues définies par:
Γ =(AD)⁺
Ω = (AD,AG)
A chaque rotation de base {G,D,H,P} on associe une permutation {p_G, p_D, p_H, p_P} de S_x et à chaque rotation étendues {Γ, Ω} on associe une permutation étendue p_Γ, p_Ω.
Soit Λ l'ensembe des permutations engendrées par {p_H, p_B, p_A, p_P, p_G, p_D}
et Λ⁺ engendré par { p_G, p_D, p_H, p_P, p_Γ, p_Ω }
Λ = < p_G, p_D, p_H, p_P > et
Λ⁺ = < p_G, p_D, p_H, p_P, p_Γ, p_Ω >

Permutations standards
p_G = (4,1,9)(8,6,3)
p_D = (1,5,12)(6,10,2)
p_H = (5,8,11)(10,4,7)
p_P = (7,3,12)(11,9,2)

Permutations étendues (violer les lois)
p_Γ = (5,10)
p_Ω = (4,5)(8,10)

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/index.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP
C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin
C:\gap4r7\bin>gap
gap>
Ici on colle le text gap_pyraminx.txt

gap_pyraminx.txt:
pG := (4,1,9)(8,6,3) ;
pD := (1,5,12)(6,10,2) ;
pH := (5,8,11)(10,4,7 ;
pP := (7,3,12)(11,9,2) ;
pGamma := (5,10) ;
pOmega := (4,5)(8,10) ;
pyraminxplus := Group( pG, pD, pH, pP, pGamma, pOmega );
Spyraminxplus := Size( pyraminxplus );
pyraminx := Group( pG, pD, pH, pP);
Spyraminx := Size( pyraminx );
indice := Spyraminxplus / Spyraminx ;

Le GAP nous donne bien
|Λ⁺| = 46080
|Λ| = 11520

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DMJ: 30/04/2021