Les secrets du Pyraminx
20
Avr
2018
Le Groupe du Pyraminx G=G(P)
G=G(P) c'est l'ensemble des états des arêtes (on ignore les sommets et les centres) produits par les mouvements de:
M = <G,D,H,P>, munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe :
Le groupe du Pyraminx.
L'étendu G+ du Pyraminx
Si on observe bien le Pyraminx on voit que:
- Les sommets ne servent strictement à rien !!!
- Les centres ne servent pas grande chose non plus! car ils tournent autour de leur sommet c'est tout!
Finalement ceux qui nous intéressent ce sont des arêtes. Imaginons qu'on a supprmé le core , les arêtes se déplacent sans contraites, on peut par ex permuter deux arêtes ...
Une arête peut balader par tout on a donc affaire à S
6 ensuite une arête a 2 orientations on a
donc affaire à Z
26 finalement on est en face d'un truc comme ça:
G
+ = S
6 x Z
26 , c'est l'ensemble de tous les états du Pyraminx y
compris le démontage/remontage du puzzle, ce qu'on appelle l'étendu du Pyraminx (Pyraminx sans core)
La loi '.' de (G+,.)
On voudrait définir une loi de composition '.' sur G
+ afin que fasse (G
+,.) un groupe.
Soient (u,x) et (u',x') deux éléments de G
+
(u,x)(u',x') = (w,z)
Comment trouver w et z ?
Pour w on voit facilement que w = uu' , car si on déplace les pièces par u puis par u' , on déplace les pièces bien par uu'.
Pour trouver z c'est plus compliqué ... ça se fait en plusieurs étapes . Allons-y mais d'abord on doit préciser les rotations de base
{G,D,H,P} et fixer le twist :
Rotations de base : {G,D,H,P}
Fixer le twist : B(as)=j(aune), A(vant)=v(vert), G(auche)=o(range), D(roite)=r(rouge)
1. Marquage des facettes
Imaginez
d'une part, que le Pyraminx possède des "emplacements-arêtes" à 2 facettes marquées comme indique la fig1 ci-dessous
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fig1 |
tab de marquages |
2. Couleur dominante
Et
d'autre part, les arêtes (numérotées) ayant 2 couleurs (comme indique la fig2 ) dont l'une est dominante.
Les couleurs dominantes : jaune > vert > orange > rouge (les couleurs dont le marquage est zéro 0)
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arêtes numérotés |
fig2 |
Voici les 6 arêtes avec leur couleur dominante en première:
x
1=(vr), x
2=(vo), x
3=(or),
x
4=(jv), x
5=(jo), x
6=(jr)
 |
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Couleur dominante "*" |
|
3. Orientation des arêtes
Les arêtes x
i se baladent d'emplacement en emplacement pour se loger dans des emplacements (BA), (GD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 flip) , sinon elle vaut 0 zéro,
par exemple l'arête (vr)=x
1 se place dans (BA) avec vert=B, alors x
1 vaut 0 (0 flip) car la couleur dominante vert est sur la facette marquée 0,
de même si l'arête (jo)=x
5 se trouve dans (AG) avec jaune=G, alors x
5 = 1 (1 flip) car la couleur dominante jaune se trouve sur 1 .
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x1=0, x5=1 |
|
4. Loi de composition
On note : e•D = (p,a)
Pour dire que la rotation de base D engendre l'état (p,a) où p=permutation et a=orientation,
pour trouver p et a, on utilise la table des numérotations et la table des marquages.
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tab des numérotations |
tab des numérotations abrégées |
On voit que pour la rotation D, p vaut : p = 1->6->4 = (1,6,4)
Pour trouver l'orientation a , on utilise la table de marquage
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tab des marquages |
vecteur orientation a |
et on voit que a = (1,0,0,0,0,1)
finalement on a:
e•D = (p,a) avec
p = (1,6,4)
a = (1,0,0,0,0,1)
Ainsi on peut trouver les étas associés pour les autres rotations G,H,P.
e•G = (p,a)
p = (2,4,5)
a = (0,0,0,1,1,0)
e•H = (p,a)
p = (1,2,3)
a = (1,0,1,0,0,0)
e•P = (p,a)
p = (6,3,5)
a = (0,0,0,0,1,1)
D'après le marquage on a:
(BA)=(x
3,1+x
3), (AD)=(x
2,1+x
2), (BD)=(x
5,1+x
5).
Les x
i sont placés sur la couleur dominante.
 |
 |
Avant la rotation D |
Après la rotation D |
x'
1 = 1+x
6
x'
4 = x
1
x'
6 = 1+x
4
Or pour la rotation D on a:
Permutation: p = (1,6,4)
Orientation: a = (1,0,0,0,0,1)
on en déduit:
x' = a + p(x)
Chaque formule F (état (u',x')) commence par une rotation de base par ex D (état (p,a)) et le reste T (état (u,x)) on a :
F = AT
(u',x') = (p,a)(u,x) = (pu,a+p(x))
ce qui suggère la loi dans (G
+, .) est :
(u,x)(u',x') = (uu',x+u(x'))
Les 2 lois du Pyraminx
1. Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un nombre pair
∑ x
i = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x
1,x
2,x
3,...,x
6)
on dit qu'il y a une conservation des flips .
==> (1) Pour une rotation de base, D par ex et l'état (p,a) associé à D avec
a = (1,0,0,0,0,1) on a bien a=0 (mod 2)
On peut vérifier ainsi que le vecteur d'orientation des autres rotations de base est aussi un multiple de 2.
==> (2) Un mouvement F (état (u',x')) du Pyraminx se compose une partie "début" T (état (u,x)) et une rotation de base par ex D (état (p,a)), il est donc de la forme:
F = TD
d'où
(u',x') = (u,x)(p,a)
x' = x + u(a)
On va démontrer la loi par récurrence sur la longueur de la formule.
¤ Pour n=1 , les rotations de base ont tous un vecteur d'orientation un multiplie de 2 d'après (1)
¤ Supposons à l'étape n , formule T , état (u,x) avec x=0 (mod 2) ; Hypothèse de Récurrence
¤ Voyons si à l'étape n+1, formule F , état (u',x') la loi vérifie encore. Or d'après (2) on a:
x' = x + u(a)
comme
x = 0 (mod 2) ;HR
et a = 0 (mod 2) ==> u(a) = 0 (mod 2) ,u ne change rien sur le modulo
donc
x' = 0 (mod 2)
la 1ère loi est ainsi démontrée.
2. Loi de parité: les permutations des arêtes sont paires
Démonstration : La démonstration se fait en 2 étapes.
A1. Une rotation de base D par exemple, fait permuter 3 arêtes
Soit p = la permutation assiociée à D
On a p = 1->6->4 = (1,6,4) c'est une parmutation paire comme une formule est composée de rotations de base donc
la permutation q associée à une formule est paire (la somme des nombres pairs est paire)
On a donc montré qu'une formule gènère une permutation paire q ∈ A
6.
A2. Inversement, étant donnée une permutation paire q, il faut trouver une formule associée.
Pour cela on utilise la propriété suivante:
Propriété : La famille des 3-cyles (a,b,x) où a,b donnés et x ∈ {1,2,3,4,5,6}-{a,b} engendre A
6
En cherchant un peu on trouve les 3-cycles désirés
[HD] => u = (1,4,3)
P[HD]P' => v = (1,4,6)
P'[HD]P => s = (1,4,5)
[D'G] => t = (1,4,2)
Donc pour n'importe permutation paire q, elle est exprimée par u,v,s,t donc on trouve bien une formule associée à q.
Autrement dit <G,D,H,P> donne exactement A
6
La 2ème loi est ainsi démontrée
REMARQUE
Trouver la famille (a,b,x) où a,b fixes et x ≠ a,b n'est pas évident à trouver à priorie. mais il y a une technique
que nous avons déjà utilisée dans la section "Les twists et les maths: Square-1"
Le groupe du Pyraminx
Le groupe G du Pyraminx est un sous-groupe de G
+, ce sont des états produits par les rotations de base {G,D,H,P}.
càd le Pyraminx avec le core, les déplacements de pièces ont des contraintes (par le core) par ex on ne peut pas permuter deux arêtes !!
Résumé
G
+ = S
6 x Z
26 c'est l'ensemble de tous les états (standards + étendus) du Pyraminx.
et un élément de G est quelque chose comme ça:
s=(u,x)∈G
+
u ∈S
6, et x ∈Z
26
qui vérifie:
1. ∑ x
i = 0 (mod 2)
2. sig(u)=1
|G| = |A
6| x |Z
25| (pas de sommets ni les centres)
|G| = 6! 2
6/2x2 = 11520
==>Si on veut compter les centres , alors on peut concidèrer les 3 centres autour d'un sommet comme un gros centre, ce gros centre
a 3 orientations , comme on a 4 gros centres on a donc 3
4 = 81
11520 x 3
4 = 933 120
==> Et si on veut compter aussi les sommets , alors chaque sommet a 3 orientations , comme on a 4 sommets, on a donc 3
4 = 81
933 120 x 3
4 = 75 582 720
L'ensemble des étiquettes X
Il y a une façon de vérifier si G vaut bien ça G = A
6 x Z
25, on vérifie par ex si |G| est correct.
Soit X = {1,2,3, ..., 12} l'ensemble des étiquettes numérotées 1,2,... ,12 comme indique la fig ci-dessous
 |
|
L'ensemble des étiquettes X |
|
Deux rotations étendues définies par:
Γ =(AD)
+
Ω = (AD,AG)
A chaque rotation de base {G,D,H,P} on associe une permutation {p
G, p
D, p
H, p
P} de S
x et
à chaque rotation étendues {Γ, Ω} on associe une permutation étendue p
Γ, p
Ω.
Soit Λ l'ensembe des permutations engendrées par {p
H, p
B, p
A, p
P, p
G, p
D}
et Λ
+ engendré par { p
G, p
D, p
H, p
P, p
Γ, p
Ω }
Λ = < p
G, p
D, p
H, p
P > et
Λ
+ = < p
G, p
D, p
H, p
P, p
Γ, p
Ω >
Permutations standards
p
G = (4,1,9)(8,6,3)
p
D = (1,5,12)(6,10,2)
p
H = (5,8,11)(10,4,7)
p
P = (7,3,12)(11,9,2)
Permutations étendues (violer les lois)
p
Γ = (5,10)
p
Ω = (4,5)(8,10)
Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::.
https://www.gap-system.org/Releases/index.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP
C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin
C:\gap4r7\bin>gap
gap>
Ici on colle le text gap_pyraminx.txt
gap_pyraminx.txt:
pG := (4,1,9)(8,6,3) ;
pD := (1,5,12)(6,10,2) ;
pH := (5,8,11)(10,4,7 ;
pP := (7,3,12)(11,9,2) ;
pGamma := (5,10) ;
pOmega := (4,5)(8,10) ;
pyraminxplus := Group( pG, pD, pH, pP, pGamma, pOmega );
Spyraminxplus := Size( pyraminxplus );
pyraminx := Group( pG, pD, pH, pP);
Spyraminx := Size( pyraminx );
indice := Spyraminxplus / Spyraminx ;
Le GAP nous donne bien
|Λ
+| = 46080
|Λ| = 11520
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DMJ: 30/04/2021