Le groupe de Mathieu M12

29 Oct 2012

Introduction Auteur: morphocode
Année: 2012

Ce qui est vraiment remarquable c'est que le Rubik's Cube contient un objet mathématique extrêmement rare : le groupe simple sporadique de Mathieu M12 !!!

1- Rappel sur les groupes finis simples

Un groupe simple c'est un groupe qui ne contient pas de sous groupes normaux (à par 1 et G bien sur) , par exemple Zp avec p = premier, et les An avec n ≥ 5
La classification des groupes finis simples s'est terminée en 1983 (légère correction en 2004) , il y a 18 familles et 26 groupes non classables nommés sporadiques . Le groupe M12 est l'un des sporadiques découvert par Mathieu dans les années 1860 (Mathieu en a découvert cinq)

2- Le groupe M12

Le groupe M12 est assez simple à construire
Soit: E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Soient p et q, deux fonctions suivantes:

p(x) = 13 - x
et


ce qui donne comme permutations:
p = (1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7)
q = (2,3,5,9,8,10,6,11,4,7,12)
Et M12 c'est l'ensemble des permutations de E engendrées par p et q
M12 = < p, q >
On a: |M12| = 12!/7! = 95040
Remarque : les permutations p et q sont paires donc M12 est un sous groupe de A12

3- Le Rubik's Cube et M12

On va noter les arêtes comme indique la fig ci-dessous
(HA)=1,(HG)=2,(HP)=3,(HD)=4
(AD)=5,(AG)=6,(PG)=7,(PD)=8
(BA)=9,(BG)=10,(BP)=11,(BD)=12

1,2,3,4
5,6,7,8
9,10,11,12

Posons :
C = HP²H²G²D²H²A²H' (14* , *=minimal)
S = BH'G²H' .P²BG² .ADHGH'.A'D'BA'B .H'DBD' (24)
d'où
M12 = < C, S >

e•C = c = (p,0,id,0)

e•S = s = (q,0,id,0)

Les mouvements C et S engendrent exactement M12, il est remarquable que le Rubik's Cube contient M12 car c'est un groupe simple sporadique, les groups simples sporadiques il n'y en a que 26.

Une question se pose naturellement: si on mélange le Cube avec C et S comment le restaurer avec seulement C et S ?

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