La face cachée du Gear Shift

Les notations

Les "rotations" du Gear Shift sont assez spéciales.

A = Ecarter Avant-Postérieur, puis tourner (HGA) 1 cran dans le sens horaire.
A^-1 = Ecarter Avant-Postérieur, puis tourner (HGA) 1 cran dans le sens contraire

	rotation A 1.Ecarter Avant-Postérieur 2. Pivoter (HGA) un cran dans le sens horaire

Equation du type ax+by=c dans Z

Rappelons la résolution de cette équation dans Z
ax + by = c avec (a,b) = 1 (a et b premiers entre eux)
Comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Bezout dit qu'il existe des entiers u,v de Z tels que
au + bv = 1 (A) équation sans seconde membre
Donc soit (x₀, y₀) une solution particulière de (A) , sans seconde membre
On a alors
ax₀ + by₀ = 1
acx₀ + bcy₀ = c
Or on a aussi:
ax + by = c
D'où (en faissant la soutraction)
a(x-cx₀) + b(y-cy₀) = 0
Soit
a(x-cx₀) = b(cy₀ - y) (B)
b|a(x-cx₀) et (a,b)=1 donc
b|(x-cx₀) (théorème de Gauss)
bk = (x-cx₀) (C)
En rapportant dans (B) on trouve
abk = b(cy₀ - y)
Soit
y = cy₀ - ak
et de (C) on tire
x = cx₀ + bk

En résumé les solutions de ax+by=c avec (a,b)=1 sont
x = cx₀ + bk
y = cy₀ - ak
Où k est un entier (le même k pour x et y) et (x₀, y₀) une solution particulière de ax+by=1

Analyse du puzzle

Le Gear Shift possède deux types de rotations: normal N, sans écarter et A, P, H, B, G, D en écartant le cube.

- Pour la rotation N quand on tourne un sommet les 7 autres tournent aussi: les gros sommets dans un sens et les petits sommets dans l'autre sens.

- Pour la rotation A, par exemple, on écarte le cube dans la direction Avant-Postérieur puis on tourne un sommet Avant les 3 autres sommets Avant tournent aussi, de même les gros sommets dans un sens, les petits dans l'autre sens

- Quand un gros sommet avance 2 crans par exemple, il peut le faire en plusieurs tours ! c'est à dire 8k+2 et le petit sommet reste invariant mais lui aussi il peut faire plusieurs tour 5m et on a la relation suivante: 8k + 2 = 5m

8k + 2 = 5m	5m + 1 = 8k

Numéroter les sommets

On numérote les sommets comme indique la fig ci-dessous


Pour le sommet 1, par exemple il peut être pivoté par N , H, G, et A de même pour le sommet 2 il peut être pivoté par N, H, G, et P mais dans l'autre sens... on a donc les relations suivantes:

N + H + G + A + a₁= 8k₁
-N - H - G - P - a₂ = 5k₂
N + H + D + P + a₃ = 8k₃
-N - H - D - A - a₄ = 5k₄
-N - B - G - A - a₅ = 5k₅
N + B + G + P + a₆ = 8k₆
-N - B - D - P - a₇ = 5k₇
N + B + D + A + a₈ = 8k₈

et sous la forme matricielle
V₁, V₂, V₃, V₄, V₅, V₆, V₇


Mais ces 7 vecteurs ne sont pas tous indépendants, en effet on a:
V₁ = V₅+V₇ = V₂+V₆ = V₄+V₃
ou encore
V₁ = V₄+V₃
V₆ = V₄+V₃-V₂
V₇ = V₄+V₃-V₅
Donc on peut enlever V₁, V₆,V₇ et ne garde que V₂,V₃, V₄,V₅ on peut noter que la famille {V₂,V₃, V₄,V₅ } est libre

Retrouver la formule H^-8G⁸A^-8 = (HDA)¹⁺

Le but de ce paragraphe c'est de retrouver cette formule, Supposons que le sommet 4 avance d'un cran, alors on a le système suivant:



On a:
G = 8k₆
D = -5k₇
D + A = 8k₈
- H - D - A = 5k₄+1

D'où
A = 8k₈+5k₇
et
H + 5k₄ = - D - A - 1
H + 5k₄ = -8k₈ - 1
Une solution particulière sans seconde membre est: H=6, k₄=-1 d'où les solutions sont
H = -48k₈ - 6 + 5m
k₄ = 8k₈ + 1 - m

D'où les solutions du système sont (elles dépendent de 4 paramètres indépendantes)
G = 8k₆
D = -5k₇
A = 8k₈+5k₇
H = -48k₈ - 6 + 5m

Si on prend
k₆ = 1 => G = 8
k₇ = 0 => D = 0
k₈ = -1 => A = -8
m = -10 => H = -8
On retrouve la formule
(HDA)¹⁺ = H^-8G⁸A^-8

Note : Si le sommet 4 recule d'un cran on trouvera: (HDA)^1- = H⁸G^-8A⁸

Retrouver la formule (HGA)²⁺ = H^-5D⁵A^-5

Le but de ce paragraphe c'est de retrouver cette formule, Supposons que le sommet 1 avance de 2 crans, alors on a le système suivant:



On a:
G = 8k₆
D = -5k₇
H + G = -5k₂
H + G + A = 8k₁-2

D'où
H + 5k₂ = -8k₆
Une solution particulière sans seconde membre est: H=6, k₂=-1 d'où les solutions sont
H = -48k₆ + 5m
k₂ = 8k₆ - m

De même pour
A - 8k₁ = -2 + 40k₆ - 5m
Une solution particulière sans seconde membre est: A=9, k₁=1 d'où les solutions sont
A = -18 + 360k₆ - 45m -8p
k₁ = -2 + 40k₆ - 5m -p

D'où les solutions du système sont (elles dépendent de 4 paramètres indépendantes)
G = 8k₆
D = -5k₇
H = -48k₆ + 5m
A = -18 + 360k₆ - 45m -8p

Si on prend
k₆ = 0 => G = 0
k₇ = -1 => D = 5
m = -1 => H = -5
p = 4 => A = -5
On retrouve la formule
(HGA)²⁺ = H^-5D⁵A^-5

Note : Si le sommet 1 recule de 2 crans on trouvera: (HGA)^2- = H⁵D^-5A⁵

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DMJ: 26/07/2018