Le nombre d'états du Cube n³

Observation

Ce qui est important c'est de savoir combien type de pièces dans ce genre de puzzle, et que dans chaque type il y a combien de familles ? (de clans). On 2 cas : n est pair ou impair.

Cas impair: n = 2k + 1

Pour fixer les idées on va choisir n = 9
Observons bien, il y a plusieurs type de pièces dans ce puzzle, et pour chaque type il y a plusieurs familles (clans, orbites,...)



Les arêtes :
Il y a 12 arêtes (une seule famille), et qui peuvent balader partout donc
12 ---> 12!
et chaqu'arête a 2 orientations ---> 2¹²
finalement ---> 12! .2¹²

Les sommets :
Il y a 8 sommets (une seule famille), et qui peuvent balader partout donc
8 ---> 8!
et chaque sommet a 3 orientations ---> 3⁸
finalement ---> 8! .3⁸

Les ailes :
Il y a plusieurs familles d' ailes, en effet les ailes en position 1 ne peuvent pas aller en position 2, toutes les ailes en position 1 de chaque face forment ainsi une famille (un clan, une orbite,...) . Il y a plus précisement (k-1) familles d'ailes
dans chaque famille il y a évidemment 24 ailes (4 par faces et on a 6 faces), ces ailes peuvent balader partout donc: 24 ---> 24!
d'où ---> (24!)^(k-1)
et chaque aile a 2 orientations, comme on a 24 ailes et (k-1) familles donc ---> 2^24(k-1)
finalement ---> (24!)^(k-1) . 2^24(k-1)

Les centres :
Il y a plusieurs familles de centres (même raisonnement comme dans les ailes) , le calcul du nombre de familles est assez simple: On somme les nombres 2+4+6, ..... à une longeur (k-1) (voir fig), donc
2+4+6+ ... ; (longeur k-1)
= 2+4+6 ... +2(k-1)
= 2(1+2+3 ...+(k-1))
= 2.k(k-1)/2
= k(k-1) familles de centres ==> (k-1) familles centre-diag C_i, (k-1)² familles centre-aile C_ij,

Dans chaque famille il y a 24 centres (4 par faces et on a 6 faces) 24 ---> 24! et on a k(k-1) familles .
finalement ---> (24!)^k(k-1)

ce qui donne:
G⁺ = 12! .2¹² x 8! .3⁸ x (24!)^(k-1) . 2^24(k-1) x (24!)^k(k-1)
G⁺ = 12! .2^12(2k-1) x 8! .3⁸ x (24!)^(k²-1)
Mais on ne peut pas atteindre tous ces configurations états, car il y a des contraintes , provenant du core .

NOTATION :
S = permutation sommet, s_i = vect orientation sommet
A = permutation arête, a_i = vect orientation arête
C_i = permutation centre-diag-i
C_ij = permutation centre-aile-ij
W_i = permutation aile-i ,w_i = vect orientation aile-i

Contraintes :
1) Σ a_i = 0 (mod 2) ===> 2
2) Σ s_i = 0 (mod 3) ===> 3
3) sig(C_i) = sig(S) = sig(A) ===> 2^k-1.2¹.2¹/2 = 2^k
4) w_i = 0 on a: 2 valeurs, 24 composantes et (k-1) familles ===> 2^24(k-1)
5) sig(C_ij) = sig(S).sig(W_i).sig(W_j) on a: 2 valeurs et (k-1)² familles ===> 2^(k-1)²

soit le nomnre de contraintes N:
N = 2 .3 .2^k .224(k-1).2^(k-1)² <

G^# = G⁺ / N = 12! .2¹⁰ x 8! .3⁷ x (24!)^(k²-1)/2^k(k-1)
d'où le nombre d'états G :
G = G^# / (4!⁶/2)^k(k-1)

Cas pair: n = 2k

Pour fixer les idées on va choisir n = 8
Observons bien, il y a plusieurs type de pièces dans ce puzzle, et pour chaque type il y a plusieurs familles (clans, orbites,...)


Les sommets :
Il y a 8 sommets (une seule famille), et qui peuvent balader partout donc
8 ---> 8!
et chaque sommet a 3 orientations ---> 3⁸
finalement ---> 8!.3⁸

Les ailes :
Il y a plusieurs familles d' ailes, en effet les ailes en position 1 ne peuvent pas aller en position 2, toutes les ailes en position 1 de chaque face forment ainsi une famille (un clan, une orbite,...) . Il y a plus précisement (k-1) familles d'ailes
dans chaque famille il y a évidemment 24 ailes (4 par faces et on a 6 faces), ces ailes peuvent balader partout donc: 24 ---> 24!
d'où ---> (24!)^k-1
et chaque aile a 2 orientations, comme on a 24 ailes et (k-1) familles donc ---> 2^24(k-1)
finalement ---> (24!)^(k-1) . 2^24(k-1)

Les centres :
Il y a plusieurs familles de centres (même raisonnement comme dans les ailes) , le calcul du nombre de familles est assez simple: On somme les nombres 1+3+5, ..... à une longeur (k-1) (voir fig), donc
1+3+5+ ... ;(longeur k-1)
= (k-1)² familles de centres ==> (k-1) familles centre-diag C_i, (k-1)(k-2) familles centre-aile C_ij,
finalement ---> (24!)^(k-1)²

ce qui donne:
G⁺ = 8! .3⁸ x (24!)^(k-1) . 2^24(k-1) x (24!)^(k-1)²
G⁺ = 8! .3⁸ x 2^24(k-1) x (24!)^k(k-1)
Mais on ne peut pas atteindre tous ces configurations, car il y a des contraintes , provenant du core .

NOTATION :
S = permutation sommet, s_i = vect orientation sommet
C_i = permutation centre-diag-i
C_ij = permutation centre-aile-ij
W_i = permutation aile-i ,w_i = vect orientation aile-i

Contraintes :
1) Σ s_i = 0 (mod 3) ===> 3
2) sig(C_i) = sig(S) ===> 2^k-1 .2¹/2 = 2^k-1
3) w_i = 0 on a: 2 valeurs , 24 composantes et (k-1) familles ===> 2^24(k-1)
4) sig(C_ij) = sig(S).sig(W_i).sig(W_j) on a: 2 valeurs et (k-1)(k-2) familles ===> 2^(k-1)(k-2)

soit le nombre de contraintes N :
N = 3. 2^k-1 .2^24(k-1).2^(k-1)(k-2)

G^# = G⁺ / N = 8! .3⁷ x (24!)^k(k-1) / 2^(k-1)²
d'où le nombre d'états G :
G = G^# / (4!⁶/2)^(k-1)²



Ce qui est étonnant c'est que dans le cas pair, il n'y a plus d'arêtes !! , il n'y a que des ailes !

En résumé: Voici le nombre d'états pour un Rubik's Cube de dimension n:

1 [2] 3 4 5 6

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DMJ: 08/11/2023