Le groupe de Skewb

21 Mar 2018

Structure mathématique du Skewb Le Skewb possède deux propriétés intéressantes, sans les maths il serait impossible de comprendre ou d'avoir une explication.
P1: Quand les sommets Haut sont bien placés, alors les sommets Bas sont automatiquement bien placés . (pourquoi ?)
P2: Quand les sommets Haut sont en Haut, alors la loi des twists s'applique . (pourquoi ?)

Eh bien pour expliquer tout celà on doit regarder son groupe .
nous allons donc découvrir ce groupe.
Commençons par définir ce que c'est ce groupe.
Notons les 8 sommets du Skewb:
(HDA) = A, (HPD) = D, (HGP) = P, (HAG) = G
(BAD) = B, (BDP) = E, (BPG) = H, (BGA) = O
le groupe de Skewb c'est l'ensemble G des états produits (générés) par les mouvements de:
M = < H, B, A, P, G, D, O, E >


Orientation des sommets
Comme pour le Rubik's Cube, on oriente des sommets comme indique la fig5, on numérote les sommets (fig6) de telle façon qu'on puisse regrouper les sommets pairs et impairs. Les sommets ont 3 couleurs dont l'une est dominante.

fig5 : orientation fig6 : numérotation des sommets

On prend un Skewb standard:
Haut=blanc, Bas=jaune, Avant=vert, Postérieur=bleu, Gauche=orange, Droite=rouge
Voici les couleurs dominantes pour les sommets:
blanc et jaune sont des couleurs dominantes

y1=(blanc,rouge,vert), y2=(blanc,vert,orange), y3=(blanc,orange,bleu), y4=(blanc,bleu,rouge)
y5=(jaune,rouge,bleu), y6=(jaune,vert,rouge), y7=(jaune,orange,vert), y8=(jaune,bleu,orange),

Les sommets yi se baladent pour se placer dans des trous-sommets (des emplacements des sommets), à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 twist) , sur 2 son orientation vaut 2 (2 twists) , sur 0 son orientation vaut zéro (0 twist, bien orienté). par exemple le sommet y5=(jaune,rouge,bleu) se place en (HDA) avec (H=bleu,D=jaune,A=rouge) alors y5 vaut 1 (1 twist) car la couleur dominante jaune est sur la facette 1, de même pour le sommet y2 = (blanc,vert,orange) dans (BAD) avec (B=vert,A=orange,D=blanc) alors y2=2 (2 twists) car la couleur dominante blanc se trouve sur 2 .

L'orientation des sommets pour le Skewb est beaucoup plus difficile à comprendre que chez le Rubik's Cube

On a 2 groupes de sommets ceux qui sont attachés au core et ceux qui sont libres, les pièces se déplacent chacun dans leur camp.
On nomme ℑ = {A,P,E,O} = {y1,y3,y5,y7} les sommets impairs et ℘ = {G,D,B,H} = {y2,y4,y6,y8} les sommets pairs .
Les impairs déplacent les pairs et inversement.
Les mouvements des sommets peuvent se faire de deux façons:
pairs déplacent impairs :
-permutations de type (a,b,c) provenant des rotations de base
-permutations du type (a,b)(c,d) provenant des commutateurs

Quand le déplacement est réalisé par (a,b,c), le camp déplaçant (pairs) gagne 1, ou -1 twists et le camp déplacé (impairs) gagne -3, ou 3 twists
en effet
pour fixer des idées on prend par ex la rotation G, qui déplace P,A,O et le camp ℘ gagne 1 et ℑ gagne -3 ( -3=6 (mod 3) )

Quand le déplacement est réalisé par (a,b)(c,d), le camp déplaçant gagne 0 twists et le camp déplacé 3, ou -3
en effet
(a,b)(c,d)=[X,Y]=XYX'Y' ceci apport 0 pour le camp déplaçant et 3,-3 pour le camp déolacé

Les pièces déplacées apportent à leur groupe un nombre 3k d'orientations (un multiple de 3)

En résumé: si les sommets-pairs ℘ déplacent les sommets-pairs ℑ alors ℑ gagne 3k twists, et le nombre de twists de ℘ varie

Voici les questions:
Q1: La loi des twists est elle vérifiée: ∑ yi = 0 (mod 3) ?
R1: Non , car les permutations (a,b,c) modifie le nombre de twists.

Q2: Pourquoi , quand les sommets sont isolés la loi des twists s'applique: ∑ yi = 0 (mod 3) ?
R2: Parce que quand les sommets sont isolés, les déplacements se font par (a,b)(c,d) on a: 0 twists pour le camp déplaçant et 3k le camp déplacé

La loi des twists: conservation des twists
Quand les déplacements se font uniquement par des commutateurs, alors on a la loi des twists :
La somme des orientations des sommets est un multiple de 3
∑ yi = 0 (mod 3)

En effet dans ces conditions:
les déplacements apportent 0 twists au camp déplaçant et 3k au camp déplacé
Il résulte que la somme des orientations des sommets est un multiple de 3
∑ yi = 0 (mod 3)

on dit qu'il y a une conservation des twists .

En particulier quand les sommets sont "isolés" (les sommets haut sont en Haut, les sommets bas sont en Bas) on a la loi des twists
Parce que les déplacements se font par (a,b)(c,d)

Comparons
Rubik's Cube: ∑ sommets = 0 (mod 3)
Skewwb: Quand les déplacements se font uniquement par des commutateurs : ∑ sommets = 0 (mod 3)

I. Analyse
On numérote les stickers ainsi :

stickers numérotés

On voit alors que G est un sous-groupe de S30 (30 stickers ) en effet l'étiquette 11 ne vient pas en 5, de même l'étiquette 4 et 12 ne peuvent pas échanger celà signifie que les permutations (11,5,...) et (4,12) ne font pas parties de G, G ne contient pas toutes les permutations de S30 . Voyons G de plus prés. On a remarqué que les sommets ne se mettent jamais à la place d'un centre et inversement. Les 8 sommets se permutent entre eux, de même pour les centres, et chaque sommet a 3 orientations donc on a affaire à:
pour les sommets c'est: S8 x Z3 8
pour les centres c'est: S6
finalement G se trouve dans un truc composé de 3 "morceaux"

G ⊂ S8 x Z38 x S6

II. Analyse
Si on remarque bien, les sommets pairs (les y2i) déplacent les sommets impair (les y2i+1), et inversement. on a donc 2 clans de sommets, ceux qui déplacent des sommets impairs (les pairs) et ceux qui déplacent les sommets pairs (les impairs)
finalement S8 x Z38 est scindé en 2 morceaux:
(S4 x Z34) x (S4 x Z34)
d'où
G ⊂ S4 x Z34 x S4 x Z34 x S6

III. Analyse
Une rotation de base, déplace 3 sommets (resp. 3 centres) en un 3-cycle, donc les permutations des sommets (resp. des centres) sont des permutations pairs, on a donc
A4 à la place de S 4 (resp. A6 à la place de S 6 ) donc
G ⊂ A4 x Z34 x A4 x Z34 x A6

IV. Analyse (plus délicate)
C'est le passage de Z34 à Z33 qui est délicate. En effect, quand les 4 sommets-pairs sont bien placés, alors le 4ieme est forcement bien orienté, car la loi:
∑ y2i = 0 (mod 3) oblige le 4ième soit bien orienté. Même raisonnement pour les sommets-impairs
pour l'orientation, on a seulement besoin Z33 au lieu de Z34
finalement G est exactement:

G = A4 x Z33 x A4 x Z33 x A6

Q4: Pourquoi quand les sommets haut sont bien placés alors les sommets bas sont automatiquement bien placés ?
R4: Quand les sommets haut sont bien placés ça signifie que A,P sont bien placés donc automatiquement les sommets E,O sont bien placés sinon on aura une permutation impaire (E,O) ce qui est impossible car on est dans A4 il n'y a que des permutation paires
de même quand les sommets haut sont bien placés ça signifie que G,D sont bien placés donc automatiquement les sommets B,H sont bien placés sinon on aura une permutation impaire (B,H) ce qui est impossible car on est dans A4 que des permutation paires
finalement A,P,G,D bien placés => E,O,B,H bien placés

Rappel produit de 2 états :
(u,x,p), (v,y,q) ∈ S8 x Z38 x S6
(u,x,p)(v,y,q) = (uv, x + u(y), pq)

G = A4 x Z33 x A4 x Z33 x A6

Et et ......hup làààà
|G| = (4!/2) . 33 . (4!/2) . 33 . (6!/2) = 37791360

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/index.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP
C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin
C:\gap4r7\bin>gap
gap>
Ici on colle le text gap_skewb.txt.

gap_skewb.txt:
pH := (23,8,19)(25,10,20)(13,29,1)(6,18,21)(24,9,17) ;
pB := (14,28,7)(15,30,10)(13,26,9)(24,4,18)(6,12,29) ;
pA := (4,26,12)(5,30,15)(3,27,14)(11,2,28)(22,16,7) ;
pP := (1,21,17)(5,25,20)(2,22,19)(27,11,8)(16,3,23) ;
pG := (3,11,22)(5,15,25)(1,12,24)(21,4,13)(17,26,6) ;
pD := (2,16,27)(5,20,30)(4,17,29)(12,21,9)(26,1,18) ;
pO := (13,6,24)(15,10,25)(11,7,23)(3,28,19)(22,14,8) ;
pE := (29,18,9)(30,20,10)(14,2,23)(28,16,8)(7,27,19) ;
skewb := Group( pH, pB, pA, pP, pG, pD, pO, pE );
Sskewb := Size( skewb );

Le GAP nous donne bien le |G| = 37791360

G+ , le groupe étendu de G
Le groupe étendu de G: G+ (ce sont des mouvenemts standards + étendus, on peut démonter le cube puis le remonter, mais pas échanger les étiquettes !!) vaut:
G+ = S8 x Z38 x S6
si on fait
|G|/|G+| = 0,0001984126...
Ca signifie que si on démonte le cube et on le remonte au hasard on a 0,02% de tomber dans un état résolvable. Alors que pour le Rubik's Cube on a environ 8,3% dans un sens le Skewb est plus "compliqué" que le Rubik's Cube.

SuperSkewb
Un SuperSkewb (Skewb Uktimate, Golden Cube ...) est un Skewb dont les centres sont orientés (2 orientations seulement).
GS = A4 x Z33 x A4 x Z33 x A6 x Z26
GS+ = S8 x Z38 x S6 x Z26

Commentaire

La loi des twists est valable seulement pour des mouvements qui conservent le camp, c'est-à-dire les permutations du type (a,b)(c,d) c'est un élément du groupe K=Klein un sous groupe de A4 par ex pour ℘
K = {id, (G,D)(B,H), (G,B)(H,D), (G,H)(B,D) }

[1]

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DMJ: 21/03/2018









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