Le groupe du Floppy

A- Les formules (M,.)

Les rotations de base ou les rotations standards :
{H², B², G², D²}
On pose :
M = < H², B², G², D² >
M = l'ensemble des formules du Floppy
la loi '.' = concaténation

Floppy Cube	D² = / (lire slash)

B- Les configurations (G⁺, .)

Avant d'aller plus loin, précisez bien la notion "permutation", et la notion "orientation"
- Une permutation, c'est qu'il y a un déplacement en cycles des pièces
- Une orientation, c'est qu'il y a plusieurs façons que la pièce se place (se loge) dans son propre emplacement.

Prenons notre Floppy Cube et analysons le:

1. On a 4 sommets qui baladent partout et ils n'ont pas d'orientations donc on a affaire à S₄
2. Les arêtes ne bougent pas ! mais une arête a 2 orientations , donc pour les arêtes on a affaire à Z₂⁴

Finalement l'ensemble des configurations est:
G⁺ = S₄ x Z₂⁴
s = (v,x) , v∈S₄ , x∈Z₂⁴
v = (y₁,y₃,y₂,y₄ ) = (1,3,2,4) par ex
x = (x₁,x₂,x₃,x₄ )
x_i = 0 (resp. 1) si la couleur dominante est sur le marquage 0 (resp. 1)

On marque ainsi les facettes :
Pour les sommets : Face Avant = 0, face postérieur = 0
Pour les les arêtess : Face Avant = 0, face postérieur = 1
Couleur dominante (*) : vert (vert > klein)

nom des pièces	Les facettes marquées

La loi interne de G⁺

On définit la loi '.' de composition sur G⁺ ainsi :
(v,x)(v',x') = (vv', x+x')

C- Action '•' de M sur G⁺

On définit une action '•' de M dans G⁺ ainsi
G⁺ x M --> G⁺
(s,V) --> s•V = t
Vérifiant les axiomes suivants:
A₁ : s•I = s ; élément neutre
A₂ : (s•V)•T = s•(VT) ; associativité
A₃ : a donné,fixé
(a•V) = a ==> V=I ; librement
A₄ : s•(VT) = (s•V)(s•T) ; compatibilité

D- Le groupe du Floppy (G,.)

Par définition le groupe du Floppy (G,.) est :
G = {s∈G⁺ | s=e•V , V∈M}
Ce sont des configurations provenant de M, les rotations de base

E- Théorème fondamental

On démontre le théorème suivant:
La loi de parité:
(P) : sig(v) = (-1)^k ; k=le nombre de flips des arêtes
G = {s∈G⁺ | s vérifie (P)}

Commentaire

On pourait comparer le groupe de Floppy au groupe du Pyraminx, ou du Pocket.
En effet les 2 ont un apparence semblable

Floppy:

1. G⁺ = S₄ x Z₂⁴
2. Loi de composition: (v,x)(v',x') = (vv', x+x')
3. Pas de loi de twists
4. Pas de loi de flips
5. Loi de permutations: sig(v) = (-1)^k ;k=nbr flips d'arêtes

Pyraminx:

1. G⁺ = S₆ x Z₂⁶ x Z₃⁴ x Z₃⁴
2. Loi de composition: (u,x,y,z)(u',x',y',z') = (uu', x+u(x'), y+y',z+z' )
3. Pas de loi de twists
4. Loi de flips: ∑ x_i = 0 (mod 2)
5. Loi de permutations: sig(u) = 1

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DMJ: 15/10/2024