Notation & Définition

¤ Algorithme : une suite finie d'actions.
¤ Action : déplacer, pivoter, renverser, orienter, glisser,...
¤ Déplacer, pivoter, renverser, ... par des formules
¤ Formule : une suite finie de rotations (de base) = un élémént de M, une formule F gènère un état (unique), un état provient d'une formule (unique)
¤ Formule = mélange = mouvement = manoeuvre
¤ Formule I : = Formule identique , neutre , mouvement neutre , faire rien ....
¤ Rotations de base {H,B,A,P,G,D}.
¤ Un état : une configuration des étiquettes (stickers) ; une formule génére un état, un état est représenté par s=(u,x,v,y) u,v =permutation, x,y =orientation (vecteur)
¤ Etat = configuration = motif
¤ Rotations étandues : pivoter une arête Γ ; pivoter un sommet Ψ ; permuter deux arêtes Ω
¤ Formule étendue : formule contenant au moins une rotation étendue = un élémént de M⁺, une formule étendue F gènère un état étendu (unique), un état étendu provient d'une formule étendue (unique)

¤ Etat résolu : = e = une couleur par face
¤ Etat initial : = état avant l'application d'une formule.

¤ Orienter :
Une pièce, se logge dans un emplacement de plusieurs façons, par ex pour un sommet (une pièce à 3 couleurs) (brv)=blanc-rouge-vert se place en position (HDA) de 3 façons:
1. Haut=blanc, Droite=rouge, Avant=vert
2. Haut=vert, Droite=blanc, Avant=rouge
3. Haut=rouge, Droite=vert, Avant=blanc,
On dit que ce sommet a 3 orientations, mais alors quelle est la bonne ? si sa couleur dominante est sur la facette 0 alors il a une bonne orientation

¤ Type : Dimension


¤ Ranger : bien placé et bien orienté
¤ Pivoter : orienter, tourner (renverser (flip) pour les arêtes, (twist) pour les sommets)
¤ Glisser : déplacer sans pivoter les pièces


¤ Rotation :

1. D rotation face Droite 90° sens horaire
2. D² = DD rotation face Droite 180° sens horaire
3. D'= D^-1 rotation face Droite 90° sens anti-horaire
4. D_s = DG' (slice, D,G même sens)
5. D_a = DG (anti-slice, D,G sens contraire)
6. ^tD = tourner le cube entier suivant D
7. d rotation tranche intérieure Droite 90° sens horaire
8. D* = (Dd) rotation bloc Droite 90° sens horaire
9. D_ij : i=début, j=fin i≤j ; rotation 90° le bloc (ij) suivant D. On note D_i,j s'il y a d'ambiguité
   D₂₃=Face Droite, début=2, fin=3 ; rotation bloc (23) 90° suivant la face D
   D₁₁=D ; D₂₂=d ; D₁₂=D*
   convention D_ii=D_i
   
10. ¤ D , d : face Droite-opposé

¤ (bv) : l'arête blanc-vert
¤ (brv) : le sommet blanc-rouge-vert
¤ (bv) ^- : l'arête mal orienté
¤ (brv) ^- : le sommet orienté dans la direction "-" (sens anti-horaire)
¤ (brv) ⁺ : le sommet orienté dans la direction "+" (sens horaire)

¤ (HA) : l'emplacement arête: Haut-Avant
¤ (HDA) : l'emplacement sommet: Haut-Droite-Avant

¤ (HA) : pétale H de l'arête (HA)
¤ (HA) : pétale A de l'arête (HA)
¤ {HA} : l'arête-externe
¤ {HA} = : capuchon 'HA' corps H
¤ {HA} = : capuchon 'HA' corps A
¤ (HDA) : sommet Haut-Droite-Avant (on tourne dans le sens horaire)
¤ (HDA) : secteur H du sommet (HDA)
¤ (HDA) : secteur D du sommet (HDA)
¤ (HDA) : secteur A du sommet (HDA)
¤ {HDA} : sommet-externe 'HDA'

¤ (H) : centre H , face H, etc...

(...)° : pivoter , le contenu de l'emplacement est pivoté
(...)⁺ : pivoter "une fois" dans le sens positif (sens horaire)
(...)⁺⁺ : pivoter 2 fois dans le sens positif
(...)^- : pivoter "une fois" dans le sens négatif (sens anti-horaire = sens trigonométrie)
(...)^-- : pivoter 2 fois dans le sens négatif (sens anti-horaire = sens trigonométrie)

(HA)° : pivoter, renverser, tourner l'arête Haut-Avant (c'est le contenu qui est pivoté)
(HA)⁺ : pivoter, renverser, tourner "une fois" l'arête Haut-Avant dans le sens positif (sens horaire)
(HDA)^- : pivoter, tourner "une fois" le sommet Haut-Droite-Avant, dans le sens négatif
(HDA)⁺⁺ : pivoter, tourner "deux fois" le sommet Haut-Droite-Avant, dans le sens positif
(H)->(D)->(A) = (H,D,A) 3-cycle centres, faces ...
(HA)->(HP)->(HD) = (HA,HP,HD) 3-cycle arêtes
(HDA)->(HPD)->(HAG) = (HDA,HPD,HAG) 3-cycle sommets
(HA)°->(HP)->(HD) = (HA°,HP,HD) 3-cycle arêtes et (HA) pivote
(HDA)⁺->(HPD)->(HAG) = (HDA⁺,HPD,HAG) 3-cycle sommets et (HDA) pivote dans le sens horaire

¤ Twist : pivoter un sommet , le nombre de twist = nombre d'orientation des sommets
¤ Flip : pivoter (renverser, retourner) une arête , le nombre de flip = nombre d'orientation des arêtes
¤ Transposer (swap) : échanger, permuter deux objets

a<->b ou a->b ou (a,b) : échanger, transposer (a,b)
a->b->c ou (a,b,c) : permuter circulaire a,b,c un 3-cycle , on sait que a->b->c = (a,b)(a,c)
Longueur d'un cycle : le nombre de lettres , ex longueur(a->b->c)=3
¤ Signature : soit n=le nombre de couples à échanger, (transpositions) de p, sig(p)=pair si n est pair, impair sinon. ex p=(a,b,c)=(a,b)(a,c) sig(p)=pair

¤ Nommé les pièces :



¤ Fixer le Cube, orientation du Cube :
==> H(aut)=b(lanc), B(as)=j(aune), A(vant)=v(ert), P(ostérieur)=k(lein), G(auche)=o(range), D(roite)=r(ouge)

¤ Nom des emplacements (coder les emplacements) :
==> l'ordre des faces : H ≥ B ≥ A ≥ P ≥ G ≥ D
==> règle : face dominante + sens horaire
==> emplacements-sommets: (HDA), (HAG), (HGP), (HPD), (BAD), (BGA), (BPG), (BDP)
==> emplacements-arêtes: (HA), (HG), (HP), (HD), (AD), (AG), (PG), (PD),(BA), (BG), (BP), (BD)

¤ Nom des piàces (coder les pièces) :
==> l'ordre des couleurs (couleurs dominantes) : blanc ≥ jaune ≥ vert ≥ klein ≥ orange ≥ rouge
==> règle : couleur dominante + sens horaire
==> sommets: (brv), (bvo), (bok), (bkr), (jvr), (jov), (jko), (jrk)
==> arêtes: (bv), (bo), (bk), (br), (vr), (vo), (ko), (kr),(jv), (jo), (jk), (jr)

¤ (HDA) : L'emplacement Haut-Droite-Avant. C'est donc une position, un trou, une niche... une position de l'espace où logent des objets. cet emplacement n'est jamais vide, il contient toujours quelque chose, un sommet du genre (brv), ou (bvo)... Il faut distinguer entre un sommet (pièce) noté (brv) et un emplacement (trou, niche....) noté (HDA). Un sommet c'est un objet à couleurs, tandis qu' un emplacement est un objet à facettes, un sommet a une orientation, pas un emplacement

¤ L'orientation : A chaque pièce du puzzle (sommet, arête, centre ....) on lui associe un nombre: son orientation. Une pièce se balade d'emplacement en emplacement, durant son voyage elle peut changer de l'orientation !!(en se pivotant) et quand elle se loge dans l'emplacement arrivé son orientation peut être différente celle de départ . La question est donc de savoir commbien ça vaut ? donc une pièce dans un emplacement combien vaut son orientation ? pour fixer des idées prenons l' exemple sur le Rubik's Cube
A un sommet donc une pièce du puzzle, on associe l'un des nombres 0,1,-1 , il a donc 3 orientations. Prenons le sommet (jvr) contenu dans (HDA) combien vaut son orientation : 0, 1, ou -1 ?

Voici comment on a fait:
L'emplacement (HDA) a 3 facettes marquées de le façon suivantr Haut=0, Droite=1, Avant=-1, et ensuite, pour le sommet (jvr) parmi les 3 couleurs il y en a une dominante jaune. Et maintenant c'est bon, quand la couleur dominante se place sur la facette -1 on dit que son orientation vaut -1, sur la facette 1 son orientation vaut 1, sur la facette 0 son orientation vaut 0 (bonne orientation) .

marquage

¤ (HA)°, (HDA)° : ° = "pivoter" c'est-à-dire le contenu est pivoté

¤ Commutateur [AB] : [AB]=ABA'B' (lire crochet AB).


¤ Conjugaison A^B : A^B=BAB' .

¤ Symétrique :
1. ^sE : Gauche<=>Droite et prime<=>sans-prime exp:
E=g'(P'DP)g(P'D'P) => ^sE= d(PG'P')d'(PGP')

2. ^sE : Haut<=>Bas et prime<=>sans-prime exp:
E = 1/-3B/-1 ./3/ . 1/3B/-1 . /-3/ => ^sE = -B/3/B ./-3B/ . -B/-3/B . /3B/

¤ Inverse : Lire à l'envers et prime<=>sans-prime exp:
T=D'BDABA', T'=AB'A'D'B'D et [AB]' = [BA]
¤ Les conjugués de A : A^X=XAX' où X est une formule.
Exp: AG'B[HD]B'GA' = (AG'B)[HD](AG'B)'un conjugué [HD]
P[HD]P' un conjugué de [HD]

¤ Un coup = une rotation : Longueur=|A|=1, un coup (q-métrique)
¤ Un mouvement : Une formule, une manoeuvre, un mélange, ...
¤ |.|=Longueur d'une formule (quart-rotation) : Longueur=|F|=nombre de rotations (q-métrique) ex :
T = DAD²HB²L³H' , |T|=11

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DMJ: 22/07/2023