La rencontre du troisième Copter

21 Jul 2018

Préface Dans cet article je vais vous raconter mes aventures avec le Curvy Copter III.

Tout a commencé...

Tout a commencé par une balade sur la Toile, de forums en forums, de sites marchants en sites marchants ... et là je tombe sur un twist vraiment joli j'aime la forme cubique et celui là était cubique et a un design vraiment joli, son nom de code est Curvy Copter III

J'ai donc en commandé un. Une fois la commande est passée je commence à chercher les informations de ce twist : nom de l'inventeur, année d'invention ...
Puis le temps de la résolution arrive...

Analyse

Voyons ce que subit le twist par la simple rotation de base A:
1. d'abord l'arête (HA) pivote, et si on désigne k le nombre de pivotement de l'arête (HA)=a, la signature de l'arête a est , par définition sig((a) = (-1)k
2. à chaque rotation A, on ajoute 3 à l' orientation des sommets, donc le nombre d'orientations des sommets est un multiple de 3
3. et puis la rotation A engendre une permutation u des pièces
u = csfp ; (c)entres, (s)ommets, (f)euilles, (p)étales.

Rotation A

  1. c = (c1,c2)
  2. s = (s1,s2)
  3. f = (f1,f2)(f3,f4)
  4. p = (p1,p2)(p3,p4)(p5,p6)

a) On voit donc la sig(u) = impair = -1 (7 couples échangés) donc le Copter III est de type normal, il peut avoir n'importe quel état (pair ou impair)

b) Les centres, les sommets, les pétales, sont synchronisés (en phase) puisque sig(c)=sig(s)=sig(p)

c) Les feuilles ont une permutation paire , sig(f) = pair = 1

d) On voit donc que les arêtes du même orbite sont en phase avec les centres sig(a)=sig(c)

Réflexion

I. Supposons que tous les arêtes soient bien rangées , leur signature vaut pair sig(id)=pair, comme les centres et les arêtes sont en phases, donc les centres ont un état pair . Seules les permutations paires suffisent pour ranger les centres or les permutations paires sont engendrées par les 3-cycles, autrement dit il suffit d'un 3-cycle (et les conjugaisons, c'est-à-dire ses conjugués) pour placer tous les centres. Essayons donc C = [DA] = DAD'A' = DADA = (DA)² qui donne bien un 3-cycle des centres

II. Lorsque les centres sont bien rangés, pour le même raisonnement qu'en I, il suffit simplement un 3-cycle pour placer (pas ranger) les sommets, je trouve
Q = (DADP)²
Une fois placé tous les sommets , il faut maintenant une formule pour les orienter
Voyons ce que fait Q:
Q déplace 3 sommets en les pivotant, l 'idée est donc de tourner le cube puis remettre en place les sommets, on aura alors forcement pivoté les sommets !

Q tH' = tourner le cube entier suivant H'
Remettre les sommets en place

On trouve Q° = (DADP)²(ADAG)² qui pivote les 2 sommets.

III. Pour les feuilles si on observe bien, la permutation f = (f1,f2)(f3,f4) échange 2 feuilles (f1,f2) d'une orbite et 2 autres feuilles (f3,f4) d'une autre orbite, donc pour chaqu'orbite les feuilles sont en phase avec les centres, ça signifie que pour ranger les feuilles on a besoin simplement un 3-cycle. je trouve
F = (AEDE)²

IV. Pour les pétales c'est pareil, on a besoin aussi un 3-cycle pour ranger les pétales
Je trouve T = (DG)²PAP .(GD)²PAP

Finalement on peut restaurer le cube avec 5 formules à condition de ne pas le mélanger avec les j-rotations (jumbling)
  1. C = (DA)² ; centre
  2. Q = (DADP)² , Q° = (DADP)²(ADAG)² ; sommet
  3. F = (AEDE)² ; feuille
  4. T = (DG)²PAP .(GD)²PAP ; pétale

Jumbling

Pour le jumbling, il suffit de reprendre les 4 formules du Curvy Copter.
Mouvement qui échange 2 feuilles du même orbite et 2 feuilles des orbites différents.
Jumbling: doAo'd'A Jumbling: e'g'AgeA

Mouvement qui échange 2 feuilles du même orbite.
DG. (doAo'd'A) .GD DG. (egAgeA) .GD

Ces formules déplacent d'autres pièces que les feuilles, mais ce n'est pas important on s'occupera ces pièces plus tard.

Structure mathématique

Il y avait un problème qui me hante depuis toujours: La parité du Square-1 . En effet la parité du Square-1 est très mystérieuse on ne comprend pas vraiment ce qui se passe, contrairement avec la parité du Barrel ou du Void Cube elles sont faciles à comprendre, à expliquer....
Grâce à ce Curvy Copter III je comprends maintenant mieux la parité du Square-1, mais c'est une autre histoire, revenons à nos moutons.
Pour commencer, regardons les 4 fig ci-dessous ...

I. état résolu ===> II. forme non-cubique ===>
III. forme cubique ===> IV. état résolu

... Et suivons le scénario suivant:

Le twist dispose des rotations, on selecte alors un certain nombre de rotations que l'on nomme rotations standard ou rotations de base
exemple:
  • Pour le Rubik's Cube c'est M=<H,B,A,P,G,D> on ne prend pas h,d,a et les pièces étudiées: sommets, arêtes (pas les centres)
  • Pour le Void Cube c'est M=<H,P,G,D,h,a> on ne prend pas B,A et les pièces étudiées: sommets, arêtes
  • Pour le Pyraminx c'est M=<G,D,H,P> on ne prend pas les rotations-sommets et les pièces étudiées: arêtes (pas les sommets ni les centres)
  • Pour le Square-1, M=<3,3B,S,Q,R,T> on ne prend pas {1,B,/} ; et les pièces étudiées: sommets, arêtes (pas l' équateur)
  • Pour nous le Curvy Copter III, c'est M=< A, P, G, D, B, H, O, E, N, S, I, J > , on ne prend pas les j-rotations: a,p,g,d,o,... et les pièces étudiées: sommets, feuilles, pétales, centres (pas les arêtes)

à partir de M on construit un groupe G , le groupe du twist.
Si on mélange le cube uniquement par des rotations de base, la résolution par G est sans problème. Par contre si on a utilisé des rotations non-standard, il est clair que la résolution rencontrera des problèmes
Car il existe des états que G ne peut pas atteindre vu que G ne dispose que de rotations de base, dans ce cas on dit qu'on a un problème de parité.

En résumé : Il faut définir les rotations de base, puis on construit le groupe G du twist.

Le groupe G du Curvy Copter III est
G = sommets x centres x (feuilles)4=orbites x pétales
G = (A8 x Z37) x A6 x (A6)4 x A24

[1]

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DMJ: 21/07/2018









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