Les commutateurs
12
Oct
2015
Préface ...
En tant que cubeur vous avez peut-être remarqué que pour certains Cubes on peut s'en sortir uniquement avec des commutateurs .
La question naturelle est donc:
- Pour un certains Cubes qu'on peut les résoudre uniquement par des commutateurs ?
- Et pourquoi ?
Les commutateurs
Un commutateur est un truc comme ça : aba'b' que l'on note [a,b] (lire crochet ab) comme HDH'D'=[HD], on va noter S'
n l'ensemble
engendré par des commutateurs.
càd les produits des commutateurs. On appelle S'
n la dérivée de S
n (rappel: S
n c'est l'ensemble des permutations à n objets)
S'
n = < [a,b] avec a,b ∈S
n > engendré par des commutateurs
ou encore:
S'
n = { x=[a,b][c,d][e,f]... avec a,b,c,d,e,f... ∈S
n } produit des commutateurs
Note : l'ensemble des commutateurs ne forme pas un groupe, car en général le produit de 2 commutateurs n'est pas un commutateur. C'est l'ensemble des produits de commutateurs qui est un groupe
Les permutations paires A
n forment un sous groupe de S
n donc si on arrive à montrer que
S'
n = A
n on a gagné: tous les Cubes en état pair se résolvent uniquement par des produits de commutateurs.
Allons y
S'n ⊂ An
On a [S
n:A
n]=2 ça signifie que S
n/A
n n'a que 2 éléments (2 classes) qui sont
A
n et son complémentaire A'
n
Or A
n est l'élément neutre "1" de S
n/A
n d'où A'
n.1 = 1. A'
n donc S
n/A
n est commutatif.
Maintenant soit [a,b] supposons que [a,b] ∈ A'
n
[a,b] = aba'b' = k avec k∈A'
n
aba'b' = k
En passant par les classes, on a:
A
na.A
nb.A
na'.A
nb' = A
nk
A
na.A
nb ≠ A
nb.A
na
ce qui contredit S
n/A
n est commutatif donc [a,b] ∈ A
n
Un commutateur [a,b] est dans A
n , donc le produit des commutateurs est dans A
n
Finalement
S'
n ⊂ A
n
An ⊂ S'n
Il suffit de remarquer qu'on a la formule suivante:
(a,b,c) = (c,b,a)(a,c)(c,b,a)
-1(a,c)
-1
le 3-cycle (a,b,c) s'exprime en commutateur et comme les 3-cycles engendrent A
n les éléments de A
n s'exprimeront en commutateurs
autrement dit on a:
A
n ⊂ S'
n
et finalement
A
n = S'
n
NOTE : la formule F génère une permutation p
F des stickers, T gènère une permutation p
T des stickers, étudier [FT] revient à étudier [p
Fp
T]
Application sur le Rubik's Cube
Voyons tout ça sur notre Rubik's Cube
Si les arêtes sont en état pair ( sig(arêtes)=1 ), pour déplacer les arêtes ça on est sûr de pouvoir le faire uniquement par des commutateurs, mais pour pivoter les arêtes est on sûr
de pouvoir le faire avec les commutateurs ?
- La réponse est affirmative, grâce à la relation: x' = a + u(x) où u∈S'
n
u s'exprime en commutateurs donc les commutateurs peuvent changer le vecteur d'orientation des arêtes càd faire pivoter les arêtes.
Même remarque pour les sommets
Concrêtement:
- Si les arêtes sont en état impair alors H
- Placer les arêtes: (HP)->(HA)->(HD) = [DH]
- Pivoter les arêtes: (HA)°(HD)° = A[HD]A'.(H'GA²)[DH](A²G'H)
- Placer des sommets: (HGP)->(HAG)->(HPD) = [Z,G'] avec Z=[DH]
- Pivoter des sommets: (HGP)°(HAG)° = [Z²,G']
Finalement on peut restaurer le Cube uniquement par H et les commutateurs.
Résumons
Certains twists se résolvent uniquement par des commutateurs (plus exactement par des produits des commutateurs) càd des formules du genre [XY][ZT]... (X,Y,Z,T... formules), parce que:
- Son groupe est An
- Il n'y a pas d'orientation ou l'orientation suit la loi x' = a + u(x) où u∈S'n
- On trouve un commutateur [XY] qui donne un 3-cycle
par exp: le Dino Cube, le Skewb, le Pyraminx ... par contre on a besoin autre chose (la rotaion H) que les commutateurs pour résoudre le Rubik's Cube
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DMJ: 16/10/2024
