L'ordre maximal d'un élément de G

Définitions et notations

Rappel
G⁺ = S₁₂ x Z₂¹² x S₈ x Z₃⁸ le groupe étendu de G
Le groupe du Rubik's Cube G est l'ensemble des éléments (u,x,v,y) de G⁺ vérifiant:
1. ∑ x_i = 0 (mod 2) où x = (x₁,x₂,...,x₁₂)
2. ∑ y_i = 0 (mod 3) où y = (y₁,y₂,...,y₈)
3. sig(u)=sig(v)

L'ordre
L'ordre d'une permutation v , c'est le plus petit entier positive d tel que v^d = 1 (ici 1 représente l'identité=id) et on le note |v| = d
NOTE Si v est composé de cycles disjoints son ordre vaut le ppcm des cycles
v = (a-cycle)(b-cycle)(c-cycle)
alors
|v| = d = ppcm(a,b,c)

Théorème central:
On pose:
m=ppcm(a,b) et
A = {m'=ppcm(a',b') avec a'|a et b'|b}
B = {k / k|m }
Aors A=B

Div(m) = {ppcm(Div(a), Div(b))} , Div(a)=l'ensemble des diviseurs de a

Démontration
On va raisonner sur un exemple.
a=p³ q²
b=p² r³
Div(a)={ (1+p+p²+p³)(1+q+q²) } = {a'=pⁱ q^j ; 0≤i≤3, 0≤j≤2 }
Div(b)={ (1+p+p²)(1+r+r²+r³) } = {b'=p^k r^t ; 0≤k≤2, 0≤t≤3 }
m=ppcm(a,b)= p³ q² r³ ; tout et plus grande puissance
Div(m) = {(1+p+p²+p³)(1+q+q²)(1+r+r²+r³) }= {x=p^f q^g r^h ; 0≤f≤3, 0≤g≤2 , 0≤h≤3 }

a' = pⁱ q^j , a'∈Div(a)
b' = p^k r^t , b'∈Div(b)
m'=ppcm(a',b') = pⁱ q^j r^t en supposant que i absorbe k, k < i
et x=p^f q^g r^h un divideur de m, on voit que m'=pⁱ q^j r^t et x ont de la même forme, et les puissances (f,g,h),(i,j,t) varient de la même façon donc ces deux ensembles sont égaux A=B
m'∈A ⇒ m'=ppcm(a',b')=pⁱ q^j r^t , même forme que x donc ⇒ m'∈B ⇒ A ⊂ B
x∈B ⇒ x = p^f q^g r^h, même forme que m' donc x provient d'un ppcm ⇒ x=ppcm(a',b') ⇒ x∈A ⇒ B ⊂ A
finalement A=B


Un sommet est repésenté par, (v,y)∈S₈ x Z₃⁸ et la loi de compsition donne
(v,y)(w,z) = (vw, y + v(z) )
donc pour
(v,y)² = (v², y + v(y) )
(v,y)³ = (v³, y + v(y) + v²(y) )
....
(v,y)^b = (v^b, y + v(y) + v²(y) + ...+v^b-1(y) )

par définition on note
y + v(y) + v²(y) + ...+v^b-1(y) = y^b
d'ou
(v,y)^b = (v^b, y^b)

On appelle l'ordre du vecteur y (en v) c'est le plus petit entier positif b tel que
y + v(y) + v²(y) + ...+v^b-1(y) = 0
et on le note |y| = b

Big théorème.

On a le théorème suivant

Théorème
L'ordre du vecteur d'orientation y (en v) est un diviseur de 3|v|
|y| | 3|v|
de même pour les arêtes
L'ordre du vecteur d'orientation x (en u) est un diviseur de 2|u|
|x| | 2|u|

Remarque
3|v| ==> 3 parce qu' un sommet a 3 orientations
2|u| ==> 2 parce qu' une arête a 2 orientations
L'ordre de l'orientation ne dépend que de l'ordre de la permutation

On va faire la démontration pour les sommets (v,y)∈S₈ x Z₃⁸ , pour les arrêtes c'est pareil. Mais avant on va étudier un polynôme nécessaire à la démontration.

Posons: P_d(v) = 1 + v + v² + ...+v^d-1 un polynôme en v et P₀(v) = 0
Commençons par avoir quelques propriétés de ce polynôme
P1. P_ab(v) = P_a(v^b) P_b(v)
P2. P_ab+r(v) = v^rP_ab(v) + P_r(v)
P3. P_3|v|(v) = 3P_|v|(v)

Démontration P1
Posons w = v^b
P_a(w) = 1 + w + w² + ...+w^a-1
P_b(v) = 1 + v + v² + ...+v^b-1



1 + v + v² + ...+ v^b-1
+v^b + v^b+1 +...+ v^2b-1
+v^2b + v^2b+1 +...+ v^3b-1
+v^3b + v^3b+1 +...+ v^4b-1
...
+v^(a-1)b + v^(a-1)b+1 +...+ v^ab-1
= P_ab(v)

Démontration P2
P_ab+r(v) - P_r(v) = v^r + v^r+1 + v^r+2...+ v^{ab+r - 1}
= v^r(1 + v + v²...+ v^ab-1)
= v^r( P_ab(v) )

Démontration P3
P_3|v|(v) = P₃(v^|v|) P_|v|(v) ; d'après P1
= P₃(1) P_|v|(v) ; car |v| est l'ordre de v
= 3P_|v|(v)

Démontration de théorème
L'ordre du vecteur y est un diviseur de 3|v|
donc soit d = l'ordre de y càd le plus petit entier tel que
y + v(y) + v²(y) + ...+v^d-1(y) = 0 (*)
il faut donc démontrer que d divise 3|v|

on divise 3|v| par d donc 3|v|=kd+r avec 0 ≤ r < d
P_3|v|(v) = P_kd+r(v)
3P_|v|(v) = v^rP_kd(v) + P_r(v)
3P_|v|(v) = v^r( P_k(v^d) P_d(v) ) + P_r(v)
appliquons à y
[3P_|v|(v)](y) = [v^r( P_k(v^d) P_d(v)(y) ) + P_r(v)](y)

[3P_|v|(v)](y) = [P_|v|(v)](3y) = 0 car y∈Z₃⁸
[P_d(v)](y) = 0 car d est l'ordre de y
d'où
[P_r(v)](y) = 0
mails alors comme d est le plus petit entier qui vérifie (*) donc ça force r=0
finalement on a donc
P_3|v|(v) = P_kd+0(v) d'ou 3|v|=kd ca signifie que d divise 3|v|

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DMJ: 09/03/2022