L'algorithme [DH]^X

Analyse

* Les états du Cube forment un groupe G dans un truc comme ça
G ⊂ G⁺ = (S₁₂ x Z₂¹²) x (S₈ x Z₃⁸)
G est composé de 4 morceaux donc l'algorithme de résolution comporte 4 phases ou 4 étapes

* Le Rubik's Cube possède la loi de parité
sig(u)=sig(v) ; u=permutation des arêtes, v=permutation des sommets, on écrit aussi sig(arêtes)=sig(sommets)
donc il suffit d'étudier les arêtes en états pair (sig(arêtes)=1), et on passe les états-arêtes impair (sig(arêtes)=-1) en états pair par la simple rotation H

* sig(arêts)=1 signifie que la permutation des arêtes est pair, or les permutations paires sont engendrées par les 3-cycles, donc il suffit de trouver un 3-cycle particulier t et on aura tous les 3-cycles par les conjugués de t

Désormais on suppose que les arêtes sont en état pair sig(arêtes)=1

Les égalités

Quelques égalités

1. [DH] = I[DH]I'
2. [DH]ⁿ = (I[DH]I') (I[DH]I') (I[DH]I')... ; n fois
3. [DH]' = [DH]^-1 = [DH]⁵ car [DH]⁶=I
4. [DH]^-2 = [DH]⁴
5. X[DH]ⁿX' = (X[DH]X') (X[DH]X') (X[DH]X')... ; n fois
6. X(V[DH]V')(W[DH]W')X' = X(V[DH]V')X' . X(W[DH]W')X' = (XV)[DH](XV)' . (XW)[DH](XW)'

Placer les arêtes

Observons ce que fait le commutateur [DH], il agit sur le Cube comme une sorte de 'Z' c'est pourquoi nous le notons ζ=[DH]

ζ = [DH]	[DH] = (HP)->(AD)->(HD)

[DH] agit sur les arêtes:
[DH] = (HP)->(AD)->(HD) c'est un 3-cycle-arête donc avec les conjugués de [DH], X[DH]X' on peut placer toutes les arêtes puisque les arêtes sont en état pair.

Orienter les arêtes

Ici c'est le point le plus difficile. Au début j'ai utilisé [D'A] pour pivoter 2 arêtes, puis H'[HD]H pour remettre les pièces, mais là on a introduit le crochet [D'A] et je me demande s'il est possible de pivoter 2 arêtes avec le crochet [DH] ? j'ai mis beaucoups de temps à chercher, très déspèré et sur le point d'abordonner et hup d'un seul coup j'ai trouvé cette formule
A[DH]⁵A'.(H'GA²)[DH](H'GA²)' = (HA)°(HD)°
qui est construite sur le même principe que [D'A]. H'[HD]H = (HA)°(AD)°
A[DH]⁵A' = A[HD]A'=> pivote 2 arêtes
(H'GA²)[DH](H'GA²)' => remet les pièces en place

A[HD]A'.(H'GA²)[DH](H'GA²)' = (HA)°(HD)°

Les sommets

Pour placer les sommets on a le 3-cycle ci-dessous
[DH].G'[HD]G = (HGP)->(HAG)->(HPD)

Pour pivoter les sommets on a la formule suivante
[DH]².G'[HD]²G = (HPG)^-(HAG)⁺

[DH].G'[HD]G = (HGP)->(HAG)->(HPD)	[DH]2.G'[HD]2G = (HPG)-(HAG)+

L'algorithme [DH]^X

Et voilà , nous avons notre algorithme exigé !!

• Si sig(arêtes)=-1 alors H
• On place les arêtes par [DH]
• On pivote les arêtes par A[HD]A'.(H'GA²)[DH](H'GA²)'
• On place les sommets par [DH].G'[HD]G
• Pour pivoter les sommets on utilise [DH]².G'[HD]²G

C'est vraiment étonnant qu'on peut remonter le Cube seulemnt avec H, [DH] (sous entendu bien sûr avec les conjugués de [DH], car [DH] agit sur les emplacements fixes, ses conjugués permettent de varier les emplacements)

Commentaire

C'est extraordinaire, celà signifie que pour toute formule F on peut la décomposer en produit des conjugués de [DH] !!



Le coefficient est là pour dire que quand les arêtes sont en état impair sig(u)=-1 on fait un H avant d'appliquer l'algorithme

[DH] joue le rôle des nombres premiers dans les nombres entiers : tout entier est décomposable en produit des nombres premiers

On pourrait aussi dire qu' à partir de l'état résolu r , pour arriver à l'état s il y a toujours un chemin plus "propre", plus "joli" ou plus "sécurisé" que le chemin F

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DMJ: 08/03/2021