Le Megaminx

29 Jul 2018

Structure mathématique du Megaminx Le Megaminx a pratiquement la même structure mathématique que le Rubik's Cube.

1- Notation

Prenez votre Mégaminx et posez le sur la table, comme ceci:.


Les noms des faces... :
H(aut) , B(as), h(aut-opposé) | A(vant) , P(ostérieur) | G(auche) , D(roite), d(roite-opposé)...

Les rotations
A = tourner 72° la face Avant dans le sens positif (sens des aiguilles d'une montre).
A' = tourner -72° (dans le sens négatif)
A² = tourner 2x72°=144° dans le sens positif

On écit (HA) pour désigner le arête Haut-Avant ou (HAD) le sommet Haut-Droire-Avant
(HA)° = pivoter le arête (HA)
(HDA)° = pivoter le sommet (HDA)
Le point '.' ou les parenthèses '(', ')' qui se trouvent dans les formules sont là pour faciliter la lecture c'est tout!!!


Les 3 lois du Megaminx

Le Megaminxe possède 3 lois, comme le Rubik's Cube: une sur les permutations et deux sur l'orientation. Voyons un peu

Loi de parité:
les permutations des arêtes et des sommets ont la signature = 1

si u est la permutation des arêtes et v la permutation des sommets alors
sig(u) = sig(v) = 1.

Une rotation de base A, par exemple, fait permuter 5 arêtes et 5 sommets, un 5-cycle pour les arêtes, et un 5-cycle pour les sommets
Soient p = permutation des arêtes et q = permutation des sommets

donc sig(p)=sig(q)=1

Démontrons cette loi par récurrence
Au départ (n=0) on a u=id (id=identité) et v=id car on ne fait rien, on a bien sig(u)=sig(v)=1
Supposons donc un mouvement T de longueur n avec l = permutation des arêtes et m = permutation des sommets , et sig(l) = sig(m) = 1
et soit S un mouvement de longueur n+1, avec u = permutation des arêtes et v = permutation des sommets , on passe de T à S par une rotation de base X
S = TX
sig(u)=sig(l).sig(p)=1x1=1
sig(v)=sig(m).sig(q)=1x1=1
d'où
sig(u)=sig(v)=1
La 1ère loi est ainsi démontrée.


Orientation des arêtes

On a des emplacements-arêtes à 2 facettes marquées comme l'indique la fig.1 ci-dessous

Voici le marquage
1. La face H que des 0
2. 1er couronne: (AD) avec A=0, (DP) avec D=0, (Pb) avec P=0, etc ...
3. 2eme couronne: (AB) avec A=1 , (Ap) avec A=0, (Dg) avec D=1, (DB) avec D=0, etc ...
4. 3eme couronne (comme 1er couronne , retournez le cube): (Bp) avec B=0 , (bd) avec p=0 , ...
5. La face h que des 0

fig1: emplacements-arêtes avec les facettes marquées
0 = bien orienté

H ==> 0 = 0 (mod 2)
A ==> 1+1+1+1 =0 (mod 2)
B ==> 1+1 = 0 (mod 2)

Les arêtes ayant 2 couleurs (numérotées comme l'indique le fig.2 ) dont l'une est dominante.

fig2: Les arêtes numérotées
Les xi sur 0

Voici les arêtes avec leur couleur dominante (couleur marquée *) en premier:

x1=(bv), x2=(bo), x5=(br), ...
x6=(vr), ...

* = les couleurs dominantes

Les arêtes xi se baladent pour se loger dans des emplacements-arêtes, à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 sa orientation vaut 1 (1 flip), sinon elle vaut zéro (0=bien orienté), Par exemple l'arête (vr) = x6 se place en (HA) avec vert=H, alors x6 vaut 0 (0 flip, bien orienté) car la couleur dominante vert est sur la facette marquée 0, De même, si l'arête (bk) = x4 est dans (AD)=x4 avec blanc=D alors x4 = 1 (1 flip) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1


Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un multiple de 2 (un nombre pair)

∑ xi = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,x3,...,x30)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

Les mouvements du Megaminx se composent à partir des rotations de base M = < H, B, A, P, G, D, h, b, a, p, g, d > il suffit donc de voir ce qui se passe pour les rotations de base, voyons par exemple pour A
D'après le marquage on a:
(HA)=(x1,1+x1), (AD)=(x6,1+x6), (BA)=(x16,1+x16), (pA)=(x11,1+x11), (AG)=(x7,1+x7)
Remarque : Les xi sont placés sur le marquage 0

Avant rotation A Après rotation A

Permutation: p = 1->6->10->11->7 = (1,6,10,11,7)

x'1 = 1+x6
x'6 = 1+x10
x'7 = x1
x'10 = 1+x11
x'11 = 1+x7

x'= a + p(x)

On note 0xn pour dire qu'il y a n zéro exp: (...,1,0x5,1,...)=(...,1,0,0,0,0,0,1,...)
Orientation: a = (1,0x4,1,1,0,0,1,1,0x19) on a bien a = 0 (mod 2)

Démonstration :
On va démontrer par récurrence:
Supposons à l'étape n (T formule de longueur n, état (u,x)) l'orientation des arêtes vaut x = 0 (mod 2).
On passe de l'étape n à l'étape n+1 (T' formule de longueur n+1, état (u',x') ) par une rotation de base par ex A, e•A=(p,a).
T' = TA ==> (u',x') = (u,x)(p,a)
Donc
x' = x + u(a)
comme x=0 (mod 2) l'hypothèse de récurrence
et a = 0 (mod 2) et que la permutation u ne change rien sur le modulo , on a
x' = 0 (mod 2).

à l'étape (n+1) les arêtes ont une orientation un multiple de 2, comme au départ, à l'état résolu l'orientation des arêtes vaut 0, donc quelque soit l'état du cube l'orientation des arêtes est toujours un multiple de 2. On a fait la démontration pour la rotation A et on ferra la même chose pour les autres rotation de base.

la 2ème loi est ainsi démontrée.

Orientation des sommets

Ici on fait la même chose comme pour les arêtes, il y a des emplacements-sommets à 3 facettes marquées comme indiqué sur la fig.5, et les sommets (numérotés comme indiqué la fig.6 ) ayant 3 couleurs dont l'une est dominante.

Voici le marquage
1. La face H que des 0, puis dans le sens horaire on marque 1,-1
2. La face Avant: pour les sommets (ADB),(ABp) on marque A=0 puis dans le sens horaire on marque 1,-1
3. Tourner le cube tH: marquer D, comme la face A
4. Retourner le cube on marquee h comme H

fig5: emplacements-sommets avec les facettes marquées
0 = bien orienté

fig6: Les sommets numérotés

Voici les sommets avec la couleur dominante en premier:
y1=(brv), y2=(bvo), y5=(bkr), ...
y6=(vrj), ...

* = les couleurs dominantes

Les sommets yi se baladent pour se placer dans les emplacements-sommets, à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 twist) , sur -1 son orientation vaut -1 (-1 twist) , sur 0 son orientation vaut zéro (0 twist, 0=bien orienté). Par exemple, le sommet (vrj) = y6 se place en (HDA) avec vert=A alors y6 vaut -1 (-1 twist) car la couleur dominante vert est sur la facette -1, de même pour le sommet (bvo) = y2 dans (HAG) avec blanc=A alors y2 = 1 (1 twist) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1 .

Loi des twists :
la somme des orientations des sommets est un multiple de 3

∑ yi = 0 (mod 3) ou en abrégé y = 0 (mod 3) avec y = (y1,y2,y3,...,y20)
on dit qu'il y a une conservation des twists .

Il suffit de montrer que c'est vrai pour une rotation de base par exemple A, e•A=(q,b).
D'après le marquage on a:
(HDA)=(y1,1+y1,-1+y1), (ADB)=(y6,1+y6,-1+y6),
(ABp)=(y7,1+y7,-1+y7), (ApG)=(y8,1+y8,-1+y8)
(HAG)=(y2,1+y2,-1+y2)
Remarque : Les yi sont placés sur le marquage 0

Avant la rotation A Après la rotation A

Permutation: q = 1->6->7->8->2 = (1,6,7,8,2)

y'1 = 1+y6
y'2 = 1+y1
y'6 = y7
y'7 = 1+y8
y'8 = y2

y' = b + q(y)
Orientation: b = (2,2,0x5,2,0x12) on a bien b = 0 (mod 3)

Demontration :
On va démontrer par récurrence:
Supposons à l'étape n (T formule de longueur n, état (v,y) ) l'orientation des sommets vaut y = 0 (mod 3).
On passe de l'étape n à l'étape n+1 (T' formule de longueur n+1, état (v',y') ) par une rotation de base par ex A, e•A=(q,b).
T' = TA ==> (v',y') = (v,y)(q,b)
Donc
y' = y + v(b)
comme y = 0 (mod 3) l'hypothèse de récurrence
et b = 0 (mod 3) et que la permutation v ne change rien sur le modulo , on a
y' = 0 (mod 3).
Donc à l'état (n+1) les sommets ont une orientation un multiple de 3, comme au départ, à l'état resolu l'orientation des sommets vaut 0, donc quelque soit l'état du cube l'orientation des sommets est toujours un multiple de 3. On a fait la démontration pour la rotation A et on ferra la même chose pour les autres rotation de base.

la 3ème loi est ainsi démontrée.

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