Loi interne de (G,.)
28
Jui
2013
Introduction ...
Le but est définir une loi de composition '.' sur G, pour décrire exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube.
(G,.)
On sait que G est l'ensemble des éléments (u,x,v,y) de
S
12 x Z
212 x S
8 x Z
38 vérifiant:
1. ∑ x
i = 0 (mod 2) en abrégeant x=0 (mod 2) avec x = (x
1,x
2,...,x
12)
2. ∑ y
i = 0 (mod 3) en abrégeant y=0 (mod 3) avec y = (y
1,y
2,...,y
8)
3. sig(u)=sig(v)
Une loi '.' définie sur G doit permettre de démontrer les 3 propriétés ci-dessus, qui caractisent le Rubik's Cube, sinon ça sert à rien d'avoir une loi sur G !!
Voyons d'abord sur les sommets:
On a un ensemble de sommets qui baladent partout, et en baladant ils peuvent changer leurs orientations, de même pour les arêtes. Il faut donc définir une loi
qui correspond avec le mouvement commposé. Par ex pour les sommets, la rotation A gènère un état (p,a) et D gènère (q,b)
e•A = (p,a)
e•D = (q,b)
(e•A)(e•D) = e•(AD) ; par définition.
e•(AD) = (p,a)(q,b) = ??
Il faut donc définir une loi '.' qui doit correspondre avec le résultat des rotations AD
Observons la fig ci-dessous
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Numérotation des sommets et des arêtes |
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flèche bleue: y1' = 1+y5 |
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Définition y' = a + p(y)
Suivons le mouvement des flèches bleues (flèche partant), le y
1 arrive (il bouge) à la facette -1+y
5 et prend cette valeur
càd y'
1 = -1+y
5
y
1 représente le sommet (HDA) car il bouge
y'
1 = -1+y
5
y'
2 = 1+y
1
y'
5 = 1+y
6
y'
6 = -1+y
2
y' = a + p(y) avec p=(1,5,6,2) et a=(-1,1,0,0,1,-1,0,0)
Donc ce qui suggère de définir la loi '.' dans G ainsi:
(p,a)(q,b) = (pq, a + p(b))
Vérifions si ça correspond bien
Pour D on a: e•D = (q,b) avec
q = (1,4,8,5)
b = (1,0,0,-1,-1,0,0,1)
e•(AD) = (p,a)(q,b) = (pq, a + p(b) )
pq = (1,5,6,2)(1,4,8,5) = (2,4,8,5,6)
a = (-1,1,0,0,1,-1,0,0)
p(b) = (-1,1,0,-1,0,0,0,1)
a + p(b) = (1,-1,0,-1,1,-1,0,1)
e•(AD) = (v,y) avec v=(2,4,8,5,6) et y=(1,-1,0,-1,1,-1,0,1)
c'est exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube !!!
Définition y' = a + p-1(y)
Quant aux mouvements des flèches rouges (flèche arrivant), une valeur -1+y
2 arrive en y
1 (y
1 ne bouge pas) et il a un nouveau contenu càd y'
1 = -1+y
2
y
1 représente l'emplacement (HDA) car il ne bouge pas (un emplacement ne bouge pas)
y'
1 = -1+y
2
y'
2 = 1+y
6
y'
5 = 1+y
1
y'
6 = -1+y
5
y' = a + p
-1(y) avec p=(1,5,6,2) et a=(-1,1,0,0,1,-1,0,0)
Donc ce qui suggère de définir la loi '.' dans G ainsi:
(p,a)(q,b) = (pq, a + p
-1(b))
Mais dans ce cas le vecteur a, et a + p
-1(b) représentent le contenu des emplacements (HDA), (HAG), etc ....
Ces deux lois sont valables pour décrire le Rubik's Cube.
En effet dire que la somme des orientations y
1+y
2+ ... est un multiple de 3
c'est la même chose de dire que la somme des contenus dans les emplacements (HDA)+(HAG)+... est un multiple de 3, puisque toutes les sommets sont dedans !!!
Certain auteurs utilisent cette définition pour définir la loi de G, mais notre défition est mieux car il correspond exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube. Un sommet balade et change son orientation durant le voyage et non le contenu des emplacements changent de valeur
On fait la même chose pour les arêtes.
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flèche bleue: x'1 = 1+x5 |
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Suivons le mouvement des flèches bleues (flèche partant), le x
1 arrive (il bouge) à la facette 1+x
5 et prend cette valeur
càd x'
1 = 1+x
5
x
1 représente l'arête (HA) car il bouge
x'
1 = 1+x
5
x'
5 = 1+x
9
x'
9 = 1+x
6
x'
6 = 1+x
1
x' = a + p(x) avec p=(1,5,9,6) et a=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)
Donc ce qui suggère de définir la loi '.' dans G ainsi:
(p,a)(q,b) = (pq, a + p(b))
Vérifions si ça correspond bien
Pour D on a: e•D = (q,b) avec
q = (4,8,12,5)
b = 0
e•(AD) = (p,a)(q,b) = (pq, a + p(b) )
pq = (1,5,9,6)(4,8,12,5) = (4,8,12,5,9,6,1)
p(b) = 0
a + p(b) = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)
e•(AD) = (u,x) avec u=(4,8,12,5,9,6,1) et x=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)
c'est exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube !!!
Finalement la loi de composition '.' dans G est donc
(u, x, v, y)(u', x', v', y') = ( uu', x+u(x'), vv', y+v(y') )
Pour résumer : l'expression "a +p(b)" décrit le changement d'orientation des pièces en mouvement.
Quant à "a +p
-1(b)" décrit le changement du contenu des emplacements.
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DMJ: 27/04/2021