Loi interne de (G,.)

(G,.)

On sait que G est l'ensemble des éléments (u,x,v,y) de S₁₂ x Z₂¹² x S₈ x Z₃⁸ vérifiant:
1. ∑ x_i = 0 (mod 2) en abrégeant x=0 (mod 2) avec x = (x₁,x₂,...,x₁₂)
2. ∑ y_i = 0 (mod 3) en abrégeant y=0 (mod 3) avec y = (y₁,y₂,...,y₈)
3. sig(u)=sig(v)

Une loi '.' définie sur G doit permettre de démontrer les 3 propriétés ci-dessus, qui caractisent le Rubik's Cube, sinon ça sert à rien d'avoir une loi sur G !!

Voyons d'abord sur les sommets:
On a un ensemble de sommets qui baladent partout, et en baladant ils peuvent changer leurs orientations, de même pour les arêtes. Il faut donc définir une loi qui correspond avec le mouvement commposé. Par ex pour les sommets, la rotation A gènère un état (p,a) et D gènère (q,b)
e•A = (p,a)
e•D = (q,b)
(e•A)(e•D) = e•(AD) ; par définition.
e•(AD) = (p,a)(q,b) = ??
Il faut donc définir une loi '.' qui doit correspondre avec le résultat des rotations AD

Observons la fig ci-dessous

Numérotation des sommets et des arêtes

flèche bleue: y1' = 1+y5

Définition y' = a + p(y)

Suivons le mouvement des flèches bleues (flèche partant), le y₁ arrive (il bouge) à la facette -1+y₅ et prend cette valeur càd y'₁ = -1+y₅
y₁ représente le sommet (HDA) car il bouge
y'₁ = -1+y₅
y'₂ = 1+y₁
y'₅ = 1+y₆
y'₆ = -1+y₂

y' = a + p(y) avec p=(1,5,6,2) et a=(-1,1,0,0,1,-1,0,0)

Donc ce qui suggère de définir la loi '.' dans G ainsi:
(p,a)(q,b) = (pq, a + p(b))
Vérifions si ça correspond bien

Pour D on a: e•D = (q,b) avec
q = (1,4,8,5)
b = (1,0,0,-1,-1,0,0,1)

e•(AD) = (p,a)(q,b) = (pq, a + p(b) )
pq = (1,5,6,2)(1,4,8,5) = (2,4,8,5,6)
a = (-1,1,0,0,1,-1,0,0) p(b) = (-1,1,0,-1,0,0,0,1)
a + p(b) = (1,-1,0,-1,1,-1,0,1)

e•(AD) = (v,y) avec v=(2,4,8,5,6) et y=(1,-1,0,-1,1,-1,0,1)
c'est exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube !!!

Définition y' = a + p^-1(y)

Quant aux mouvements des flèches rouges (flèche arrivant), une valeur -1+y₂ arrive en y₁ (y₁ ne bouge pas) et il a un nouveau contenu càd y'₁ = -1+y₂
y₁ représente l'emplacement (HDA) car il ne bouge pas (un emplacement ne bouge pas)
y'₁ = -1+y₂
y'₂ = 1+y₆
y'₅ = 1+y₁
y'₆ = -1+y₅

y' = a + p^-1(y) avec p=(1,5,6,2) et a=(-1,1,0,0,1,-1,0,0)

Donc ce qui suggère de définir la loi '.' dans G ainsi:
(p,a)(q,b) = (pq, a + p^-1(b))
Mais dans ce cas le vecteur a, et a + p^-1(b) représentent le contenu des emplacements (HDA), (HAG), etc ....
Ces deux lois sont valables pour décrire le Rubik's Cube.
En effet dire que la somme des orientations y₁+y₂+ ... est un multiple de 3
c'est la même chose de dire que la somme des contenus dans les emplacements (HDA)+(HAG)+... est un multiple de 3, puisque toutes les sommets sont dedans !!!
Certain auteurs utilisent cette définition pour définir la loi de G, mais notre défition est mieux car il correspond exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube. Un sommet balade et change son orientation durant le voyage et non le contenu des emplacements changent de valeur


On fait la même chose pour les arêtes.

flèche bleue: x'1 = 1+x5

Suivons le mouvement des flèches bleues (flèche partant), le x₁ arrive (il bouge) à la facette 1+x₅ et prend cette valeur càd x'₁ = 1+x₅
x₁ représente l'arête (HA) car il bouge
x'₁ = 1+x₅
x'₅ = 1+x₉
x'₉ = 1+x₆
x'₆ = 1+x₁

x' = a + p(x) avec p=(1,5,9,6) et a=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)

Donc ce qui suggère de définir la loi '.' dans G ainsi:
(p,a)(q,b) = (pq, a + p(b))
Vérifions si ça correspond bien

Pour D on a: e•D = (q,b) avec
q = (4,8,12,5)
b = 0

e•(AD) = (p,a)(q,b) = (pq, a + p(b) )
pq = (1,5,9,6)(4,8,12,5) = (4,8,12,5,9,6,1)
p(b) = 0
a + p(b) = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)

e•(AD) = (u,x) avec u=(4,8,12,5,9,6,1) et x=(1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)
c'est exactement ce qui se passe sur le Rubik's Cube !!!

Finalement la loi de composition '.' dans G est donc
(u, x, v, y)(u', x', v', y') = ( uu', x+u(x'), vv', y+v(y') )

Pour résumer : l'expression "a +p(b)" décrit le changement d'orientation des pièces en mouvement. Quant à "a +p^-1(b)" décrit le changement du contenu des emplacements.

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DMJ: 27/04/2021