Indicatrice du Mégaminx

Analyser le problème

Voyons comment on dit 2 Mégaminx sont identiques ...

Ces 2 Mégaminx sont identiques

On passe de a à b par la rotation C(72°)

En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la diférence, pour nous c'est un Megaminx à 3 couleurs rouge-vert et blanc. Il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Mégaminx "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Mégaminx fixe il y a un Haut, un Bas ....

Pour un Mégaminx mobile, on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations
Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation C(72°)=d'axe centre-centre à 72°:

La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Mégaminx ?

Le groupe des déplacements du Mégaminx D(M)

3 types de rotations	Rotation C: Axe centre-centre

Rotation A: Axe arête-arête	Rotation S: Axe sommet-sommet

Il y a trois types de rotations sur le Mégaminx: les rotations d'axe centre-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), les rotations d'axe sommet-sommet , mais avant tout on va introduire une notation: T_kⁿ , signifie on a: n orbites à k éléments

Rotation C: Axe centre-centre
- il y a 6 (12 faces/2=6) rotations C(72°) ==> 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 5 éléments
et +6 rotations C(2x72°)+6 rotations C(3x72°)+6 rotations C(4x72°) ce qui donne
24T₁²T₅²

Rotation A: Axe arête-arête
- il y a 15 (30 arêtes/2=15) rotations A(180°) ==> 6 orbites à 2 éléments ce qui donne
15T₂⁶

Rotation S: Axe sommet-sommet
- il y a 10 (20 sommets/2=10) rotations S(120°) ==> 4 orbites à 3 éléments, ce qui donne
10T₃⁴
- il y a 10 (20 sommets/2=10) rotations S(-120°) ==> 4 orbites à 3 éléments, ce qui donne
10T₃⁴

Et bien sûr
L'identité id
- il y a un id ==> 12 orbites à 1 élément, ce qui donne
T₁¹²

Soit au total: 24+15+20+1(identité) = 60 rotations, ces rotations forment un groupe D(M) (identique à A₅ = D(P) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Mégaminx. il laisse invariant le Mégaminx.

La fonction définie par:
K = (24T₁²T₅² + 15T₂⁶ + 20T₃⁴ + T₁¹²)/60
se nomme l'indicatrice du Mégaminx ou l'indicateur des cycles de D(M). Pourquoi des 'cycles' ??
En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: T_kⁿ , signifie on a: n cycles de longeur k
voyons pour:

Rotation C: Axe centre-centre
- il y a 6 (12 faces/2=6) rotations C(72°) ==> deux 1-cycle, deux 5-cycles,
et +6 rotations C(2x72°)+6 rotations C(3x72°)+6 rotations C(4x72°) ce qui donne
24T₁²T₅²

... etc ...

L'indicatrice du Mégaminx

On rappelle que ça vaut:

K = (24T₁²T₅² + 15T₂⁶ + 20T₃⁴ + T₁¹²)/60

T_kⁿ , signifie on a: n orbites à k éléments
ou encore
T_kⁿ , signifie on a: n x k-cycles , n cycles de longeur k

Fonction coloriage µ, µ*

On a 2 fonctions de coloriage du Mégaminx
La fonction µ définie par:
µ ==> dans K, on remplace T_k = c où c=le nombre de couleurs
µ = (24c²c² + 15c⁶ + 20c⁴ + c¹²)/60
µ = (44c⁴ + 15c⁶ + c¹²)/60

Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X₁, X₂, X₃
La fonction définie par:
µ* ==> Dans K , on remplace T_k = (X₁^k+X₂^k+X₃^k)

Réponse à nos questions

- Combien de Mégaminx différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ?
µ = (44c⁴ + 15c⁶ + c¹²)/60
pour c=3
µ = (44.3⁴ + 15.3⁶ + 3¹²)/60
µ = 9099 !!!!

- Combien de Mégaminx différents si on le peint avec a couleurs X₁, b couleurs X₂, et c couleurs X₃, ?
Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X₁^a X₂^b X₃^c, bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous.

Commentaire

Pour trouver l'indicatrice du Mégaminx on est obligé de passer par le groupe de déplacement, une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ

µ = (44c⁴ + 15c⁶ + c¹²)/60

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DMJ: 07/01/2024