Indicatrice du Rubik's Cube

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Voyons comment on dit 2 Cubes sont identiques ...

Ces 2 Cubes sont identiques

On passe de a à b par la rotation C(90°)

En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la diférence, pour nous c'est un Cube à 4 couleurs orange-rouge-vert et blanc. Il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Cube "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Cube fixe il y a un Haut, un Bas ....

Un Cube fixe c'est comme votre chambre: il y a le plafond, le plancher, ....

Pour un Cube mobile, on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations
Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation C(90°)=d'axe centre-centre à 90°:

La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Cube ?

Le groupe des déplacements du Rubik's Cube D(R)

3 types de rotations	Rotation C: Axe centre-centre

Rotation A: Axe arête-arête	Rotation S: Axe sommet-sommet

Il y a trois types de rotations sur le Cube: les rotations d'axe centre-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), les rotations d'axe sommet-sommet , mais avant tout on va introduire une notation: T_kⁿ , signifie on a: n orbites à k éléments

Rotation C: Axe centre-centre
- il y a 3 rotations C(90°) ==> 2 orbites à 1 élément, 1 orbites à 4 éléments ce qui donne
3T₁²T₄
- il y a 3 rotations C(-90°) ==> 2 orbites à 1 élément, 1 orbites à 4 éléments ce qui donne
3T₁²T₄
- il y a 3 rotations C(180°) ==> 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 2 éléments ce qui donne
3T₁²T₂²

Rotation A: Axe arête-arête
- il y a 6 rotations A(180°) ==> 3 orbites à 2 éléments ce qui donne
6T₂³

Rotation S: Axe sommet-sommet
- il y a 4 rotations S(120°) ==> 2 orbites à 3 éléments ce qui donne
4T₃²
- il y a 4 rotations S(-120°) ==> 2 orbites à 3 éléments ce qui donne
4T₃²

Et bien sûr
L'identité id
- il y a un id ==> 6 orbites à 1 élément, ce qui donne
T₁⁶

Soit au total: 9+6+8+1(identité) = 24 rotations, ces rotations forment un groupe D(R) (identique à S₄ = D(R) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Cube. il laisse invariant le Cube.

La fonction définie par:
K = (6T₁²T₄ + 3T₁²T₂² + 6T₂³ + 8T₃² + T₁⁶)/24
se nomme l'indicatrice du Rubik ou l'indicateur des cycles de D(R). Pourquoi des 'cycles' ??
En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: Tⁿ_k , signifie on a: n cycles de longeur k
voyons pour:

Rotation C: Axe centre-centre
- il y a 3 rotations C(90°) ==> les faces bougent ==> (H)(B)(D,A,G,P)==> deux 1-cycle, un 4-cycle ce qui donne
3T₁²T₄
- il y a 3 rotations C(-90°) ==> les faces bougent ==> (H)(B)(D,P,G,A)==> deux 1-cycle, un 4-cycle ce qui donne
3T₁²T₄
- il y a 3 rotations C(180°) ==> les faces bougent ==> (H)(B)(A,P)(G,D)==> deux 1-cycle et deux 2-cycle ce qui donne
3T₁²T₂²

L'indicatrice du Rubik

On rappelle que ça vaut:

K = (6T₁²T₄ + 3T₁²T₂² + 6T₂³ + 8T₃² + T₁⁶)/24

T_kⁿ , signifie on a: n orbites à k éléments
ou encore
T_kⁿ , signifie on a: n x k-cycles , n cycles de longeur k

Fonction coloriage µ, µ*

On a 2 fonctions de coloriage du cube
La fonction µ définie par:
µ ==> dans K, on remplace T_k = c où c=le nombre de couleurs
µ = (6c²c + 3c²c² + 6c³ + 8c² + c⁶)/24
µ = (12c³ + 3c⁴ + 8c² + c⁶)/24

Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X₁, X₂, X₃
La fonction définie par:
µ* ==> Dans K , on remplace T_k = (X₁^k+X₂^k+X₃^k)

Réponse à nos questions

- Combien de Cubes différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ?
µ = (12c³ + 3c⁴ + 8c² + c⁶)/24
pour c=3
µ = (12.3³ + 3.3⁴ + 8.3² + 3⁶)/24
µ = 57 !!!!

- Combien de Cubes différents si on le peint avec a couleurs X₁, b couleurs X₂, et c couleurs X₃, ?
Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X₁^a X₂^b X₃^c, bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous.

Commentaire

Pour trouver l'indicatrice du Cube on est obligé de passer par le groupe de déplacement, une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ

µ = (12c³ + 3c⁴ + 8c² + c⁶)/24

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DMJ: 07/01/2024