Les groupes d'homotopie du Square-1

20 Apr 2021

Introduction La légende racontre que le Square-1 possède une serie de groupes assez étranges, et je n'ai aucune idée de ce que ce sont ces groupes, jusqu'à récemment je les ai redécouverts tout à fait par hasard en bricollant sur un Square-1

Je voudrais en fait faire un MOD à partir de Square-1, et pourquoi pas sa forme "Papillon" (Butterfly) ?

Un simple MOD

J'ai donc transformé (un MOD) un Square-1 en forme Papillon (fig 1) , c'est jolie et c'est assez simple à le faire , il suffit de couper l'équateur en forme de Papillon et cacher les trous c'est tout. Une fois le MOD est réalisé, une simple question se pose immédiatement: Comment le résout-on ?
Faudrait-il trouver de nouvelles formules qui déplacent les pièces en conservant la forme Papillon ?, comme pour la forme "Cube" - Les formules de résolution conservent la forme cubique du puzzle -

fig1

Une petite réflexion et la réponse est prèsqu'immédiate, à partir de la forme Papillon on passe à la forme cubique, on le résout en respectant les couleurs de Papillon , puis on revient à la forme Papillon
Papillon (-3B/3+3B/-3) => Cube => résoudre => Cube (3/-3-3B/3B) => Papillon

On voit donc les nouvelles formules pour Papillon sont des conjugaisons de formules cubiques.

ep : Etat résolu du Papillon /3+3B/-3

Les Groupes d'homotopie du Square-1

Chaqu'un sait que pour résoudre le Square-1 on doit passer par sa forme "Cube", et la résolution démarre donc par la forme cubique du puzzle. Si on impose le Haut ayant 4 sommets et 4 arêtes (comme la forme Cube) on trouve 10 formes suivantes (même chose pour le Bas) que l'on nomme les 10 formes homotopes du Square-1

10 formes pour le Haut

Rappel : Soient H et K deux sous groupes de G, on dit que H et K sont conjugués si:
∃q ∈ G tel que qHq-1 = K
autrement dit
∃q ∈ G tel que ∀x∈H , qxq-1 ∈ K

On considère maintenant les mouvements P0 du twist qui conservent la forme Papillon et pairs. L'ensemble des états produits par P0 (gènérés par P0), forme un groupe c'est le groupe Papillon du Square-1 ou le 3ème groupe d'homotopie et on le note H3. Le groupe du Square-1 est le groupe 1er groupe d'homotopie, H1.
et si on pose Q = 3/-3-3B/3B et q la permutation associée à Q , alors on a la relation suivante:
H3 = qH1q-1


En effet , on part d'un état de Papillon µ, on passe à l'état cubique c1 par la formule Q, puis on résout le cube par des formules T1,T2,T3, ...
quand on arrive à l'état cubique cp, là on passe à la forme Papillon par Q' et on tombe sur l'état résolu de Papillon ep.
on a donc:
t1t2t3... = t où t ∈ H1
Soit k∈H3 la permutation qui fait passer de l'état µ à l'état résolu ep, (l'inverse de ep -> µ) alors on a :
k = qtq-1 et k ∈ H3

c'est à dire ces 2 groupes sont conjugués (dans S24) , donc on passe d'un élément de H1 à un élément de H3 par la conjugaison , par exemple:
Si t est un état de H1 l'état correspondante dans H3 est
qtq-1

On pourrait faire la même chose sur les autres formes homotopes du Square-1 on trouve donc ainsi 10 groupes d'homotopie correspondant aux 10 formes homotopes du Square-1: Cube, Flèche, Papillon, Coquille, Bouclier, etc.... Ils sont tous conjugués entre eux.

Papillon Coquille

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DMJ: 20/04/2021









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