Une propriété mathématique étonnante
Durant la résolution du BigBlock, j'ai remarqué une chose assez curieuse: Lorsqu'on place les deux sommets Bas (BAD) et (BDP) les 4 sommets Haut
seraient automatiquement bien placés (quitte à tourner H si besoin)!!! , On n'a pas besoin de permuter 2 sommets (transposer) ni de faire un 3-cycle, seule la rotation H suffit (les sommets-Haut sont déjà bien placés)
On pourrait dire cela autrement, si un sommet Haut est bien placé alors les 3 autres seront automatiquement bien placés, comme on peut toujours bien placer un sommet en tournant H donc tous les 4 seraient bien placés en utilisant seulement H.
Cette curieuse propriété provient d'une propriété étonnant de mathématique.
Le secret du BigBlock
11
MAR
2013
Entrons dans l'aventure ...
C'est vrai pourquoi n'a t-on pas besoin de permuter deux sommets-Haut ni de faire un 3-cycle pour bien placer les sommets Haut quand les 2 sommets Bas sont bien placés ?Voyons cela de plus près :
Le BigBlock possède deux rotatations H, D qui effectent les sommets . Le groupe des formules M = < H,D > engendré par H, et D gènère un groupe nommé le groupe des sommets < H,D >s , < H,D >s est évidemment un sous groupe de S6 .
La remarque précédente, provient d'une propriété mathématique très curieuse du groupe < H,D >s découverte par D. SINGMASTER . En effet on a 6 sommets qui baladent par tout donc on s'attend à se trouver les 6!=720 permutations, càd < H,D >s = S6 . Et bien D. SINGMASTER a montré que < H,D >s est beaucoup plus petit plus exactement 120 éléments au lieu de 6!=720 éléments ! et encore ce groupe à 120 est très spécial, très connu ...
< H,D >s = PSL(2,5) = S5
On comprend maintenant pourquoi on n'a pas besoin de permuter deux sommets, ni de faire un 3-cycle pour bien placer les 4 sommets Haut, car ce sont des configurations qu'on ne peut pas atteindre, autrement dit les 2-cycles et 3-cycles, ce ne sont pas des éléments du groupe !
< H,D >s.
Vers un chemin difficile ...
On va placer les éléments de P(F5) sur le BigBlock comme indique le fig ci-dessousP(F5) = {0,1,2,3,4, ∞ }
![](siamois4.png)
Formons nous les 5 motifs suivants:
a = { {1,0}, {∞,3}, {4,2} }
b = { {1,2}, {0,3}, {∞,4} }
c = { {∞,1}, {0,2}, {4,3} }
d = { {∞,0}, {1,4}, {2,3} }
e = { {∞,2}, {1,3}, {0,4} }
et soit E = { a, b, c, d, e } l'ensemble de ces 5 motifs
![](siamoismaths_1.gif)
Soient p = 0->4->∞->1 et q = 0->3->2->4 les permutations associées à H et D (p,q ∈ S6), on a donc < H,D >s = < p,q >
Voyons l'effet de p sur E
a = { {1,0}, {∞,3}, {4,2} } • p= { {0,4}, {1,3}, {∞,2} } = e
b = { {1,2}, {0,3}, {∞,4} } • p= { {0,2}, {4,3}, {1,∞} } = c
c = { {∞,1}, {0,2}, {4,3} } • p= { {1,0}, {4,2}, {∞,3} } = a
d = { {∞,0}, {1,4}, {2,3} } • p= { {1,4}, {0,∞}, {2,3} } = d
e = { {∞,2}, {1,3}, {0,4} } • p= { {1,2}, {0,3}, {4,∞} } = b
u=a->e->b->c
c'est-à-dire a • p est un élément de E, b • p est un élément de E, etc ....
De même pour q
a • q = e
b • q = d
c • q = c
d • q = a
e • q = b
v=a->e->b->d
càd a • q est un élément de E, b • q est un élément de E, etc ....
p et q agissent sur E ( E • p = E, E • q =E ) donc le groupe < p,q > agit sur E. Maintenant nous pouvons répondre à notre question.
Supposons qu'il existe une permutation qui échange seulement 2 sommets Haut par ex r=(∞,1) alors
r=(∞,1)
a • r = { {∞,0}, {1,3}, {4,2} }
b • r = { {∞,2}, {0,3}, {1,4} }
c • r = { {∞,1}, {0,2}, {4,3} }
d • r = { {1,0}, {∞,4}, {2,3} }
e • r = { {1,2}, {∞,3}, {0,4} }
a • r ∉E,
de même pour un 3-cycle s=(0,4,1)
s=(0,4,1)
a • s = { {0,4}, {∞,3}, {1,2} } ∉E
r,s n'agissent pas sur E donc r,s ne sont pas des éléments du groupe < p,q >, c'est donc des configurations impossibles à atteindre.
Et voilà le travail, le truc c'est de trouver un objet qui laisse agir par < H,D >s , on a trouvé E l'ensemble de ces 5 motifs ci-dessus.
Encore plus loin ...
On a répondu à notre question, mais on ne sait pas combien le < H,D >s est petit. VoyonsLa permutation p donne la permutation u = a->e->b->c de E , et q en donne une autre v = a->e->b->d , maintenant on va associer un élément de < p,q > à une permutation de < u,v > ⊂ SE de la façon suivante:
f: < p,q > ---> < u,v >
p ---> u : f(p) = u
q ---> v : f(q) = v
C'est évidemment un homomorphisme, elle est clairement sujective , en effect on trouve toujours un antécédant par exp pour :
r = u²vuv-1 ---> f(p²qpq-1) = r
on va voir qu'elle est aussi injective. Comme c'est un homomorphisme il suffit de montrer que son noyau se réduit à l'identité.
f injective
Notons I l'identité de < u,v >
on prend donc t , un élément de < p,q > tel que f(t) = I (f(t) est une permutation de E, f(t) = I ça signifie que f(t) laisse E fixe: I(a)=a, I(b)=b, I(c)=c, etc ... )
rappel
a = { {1,0}, {∞,3}, {4,2} }
b = { {1,2}, {0,3}, {∞,4} }
c = { {∞,1}, {0,2}, {4,3} }
d = { {∞,0}, {1,4}, {2,3} }
e = { {∞,2}, {1,3}, {0,4} }
supposons que t(∞) = 0
dans e: t(∞) = 0 oblige t(2)=4 car I(e)=e
dans c: t(∞) = 0 oblige t(1)=2 car I(c)=c
dans b: t(1) = 2 oblige t(2)=1, car I(b)=b, mais t(2)=1 contraditoire avec t(2)=4
donc t(∞)≠0, même raisonnement montre que t(∞)≠ 1,4,2,3 seul cas possible t(∞)=∞
et le même travail donne
t(0)=0, t(1)=1, t(2)=2, t(3)=3, t(4)=4, t(∞)=∞, c'est à dire t=id, f est donc injective, et finalement elle est bijective.
Et c'est presque fini, le programme GAP donne l'ordre de |< u,v >| = 120, on a donc bien
|< u,v >| = |< H,D >s| = 120
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DMJ: 05/07/2024