Le groupe de Mathieu M₁₂

1- Résoudre le M₁₂

Voici une question intéressante: si on mélange le Cube uniquement avec C et S comment le restaurer avec seulement C et S ?
Il est clair qu'on ne peut pas le faire manuellemnt car les formules C et S sont trop longues .... mais imaginez qu'il y a une machine, ou un programme qui fait C et S pour vous alors comment s'en sortir ?

La solution provient d'une propriété mathématique du groupe M₁₂ il est 5-transitif c'est à dire s'il y a 5 nombres bien placés alors les autres seront automatiquement bien placés !!
La stratégie est donc de placer les nombres 1,2,3,4,5

Rappel:
C = HP²H²G²D²H²A²H'
S = BH'G²H' .P²BG² .ADHGH'.A'D'BA'B .H'DBD'

Concidèrons les 6 formules suivantes:

F₃ = CS²CS⁵CS⁴ = (3,10,4,5)(6,7,11,12)
G₃ = CSCS³CS² = (4,9)(3,11,10,5,8,7,12,6)

F₄ = CSCS³CS²CS⁹CS⁷CS⁸ = (4,7,6,12)(5,10,8,9)
G₄ = CS³CS⁶CSCS⁹CS⁷CS⁸ = (4,7)(5,6)(8,12)(9,11)

F₅ = CS⁹CS⁷CS⁸CS⁷CSCS⁵ = (5,10,12,7)(6,8,11,9)
G₅ = CSCS³CS²CS⁷CSCS⁵ CS⁷CSCS⁵ = (5,11,12,6)(7,9,10,8)

Placer 1, 2
- Si 1 est en bonne place, alors rien à faire sinon on le déplace avec S en 12 puis le place avec T
- Pour 2: on le place avec S .
Placer 3
- Si 3 en 4: utilisez F₃
- Sinon: utilisez G₃
Placer 4
- Si 4 en 6,7,12: utilisez F₄
- Si 4 en 5,9,10: utilisez F₄ pour le mettre en 8
- Si 4 en 8,11: utilisez G₄ pour le mettre en 12 ou 9
Placer 5
- Si 5 en 7,10,12: utilisez F₅
- Si 5 en 8,9,11: utilisez F₅ pour le mettre en 6
- Si 5 en 6: utilisez G₅

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DMJ: 01/03/2024