Le groupe du Void Cube

Action d'un groupe

Soient G un groupe et X un ensemble, une action '•' de G sur X c'est une loi externe vérifiant les 2 propriétés suivantes:

G x X -> X
(g,x) -> g•x
1. e•x = x (e=élément neutre de G)
2. h•(g•x) = (hg)•x

Une autre façon de voir une action c'est à chaque g on associe une permutation f_g de X

G -> S_x
g -> f_g avec
1. f_e = id
2. f_hg = f_h o f_g

La deuxième façon de voir l'action nous montre qu' on étudie les permutations (les bijections) de X, mais sans G on ne sait pas les quelles qu'il faut étudier !, il y a tellement de permutations. G joue le rôle de guide, de filtre ... c'est lui qui nous montre les permutations intéressantes f_g à étudier.
La notion 'action' est très importante en théorie des Twists , car la construction du groupe du Rubik's Cube est basée sur l'action de M=<H,B,G,D,A,P> sur X={1,2,3,...,48} l'ensemble des étiquettes

Le groupe des déplacements du cube D(R)

Le groupe des déplacements du cube, c'est le groupe des isométries positives (les rotations) qui conservent le cube (et son orientation), c'est ce qu'on appelle couramment le groupe des symétries du cube.
ce groupe comporte l'identité + 23 rotations divisées en trois types.
- Rotations axe: sommet-sommet (il y a 8)
- Rotations axe: centre-centre (9)
- Rotations axe: arête-arête (6)
Il y a donc 24 rotations (voir détail .::ICI::.)


Une rotation (cube) µ déplace les sommets, arêtes et les centres, nous dirons que µ est paire ou impaire si la permutation des centres est paire ou impaire, par exp, une rotation arête-arête est impaire car elle déplace les centres en 3 couples.

Une inclusion

On pose
L = { (u,x,v,y,µ)∈V x D(R) tel que (sig(u)=sig(v) et µ=pair) ou (sig(u)≠sig(v) et µ=impair) }
rappel: µ = pair, signifie que la permutation des centres est paire

L ⊂ V x D(R)

Rappel L
L = { (u,x,v,y,µ)∈V x D(R) tel que (sig(u)=sig(v), sig(µ)=1) ou (sig(u)≠sig(v), sig(µ)=-1) }
on voit que V est incluse dans L, en effet dans V il n'y a que deux sortes d'éléments:
1. sig(u)=sig(v)
2. sig(u) ≠ sig(v)
Il suffit de choisir 2 rotations particulières pour distinguer les 2 clans de V

L et V ⊂ L

voyons de plus près

On définit dans L la loi '.' suivante:(a,µ)(a',µ')=(aa',µµ')
Soit µ_(BA) la rotation d'axe arête(BA)-arête(HP) , elle laisse (BA) fixe , c'est une rotation impaire et d'ordre 2
Soit p défini ainsi
p: V -> L
(u,x,v,y) -> (u,x,v,y, id) si sig(u)=sig(v)
(u,x,v,y) -> (u,x,v,y, µ_(BA)) si sig(u)≠sig(v)

Rotation µ(BA)

Le fait que µ_(BA) d'ordre 2 est vraiment merveilleux car ceci permet à p d'être un morphisme de (V, .) à (L, .)
id . id = id
id . µ_(BA) = µ_(BA)
µ_(BA) . µ_(BA) = id
Voyons si p est injectif

p(u,x,v,y) = (id,0,id,0,id)
cas sig(u)=sig(v)
p(u,x,v,y) = (u,x,v,y,id) = (id,0,id,0,id) ⇒ u=id,x=0,v=id,y=0
cas sig(u)≠sig(v)
p(u,x,v,y) = (u,x,v,y, σ) = (id,0,id,0,id) ⇒ σ = id ce qui est impossible, ce cas ne peut pas être arrivé
la seule solution est (id,0,id,0) , p est injective

V/Ker(p) = Im(p)
V = Im(p) , V est isomorphe à Im(p) , autrement dit V ⊂ L

Relation entre le Void Cube et le Rubik's Cube

Le Void Cube est fixé par l'arête (BA) avec B=jaune et A=vert c'est le référentiel R' du Void Cube, le Rubik's Cube est fixé par les centres (H)=blanc et (A)=vert c'est le référentiel R du Rubik's Cube.

Prenez un Rubik's Cube à état résolu et placez le dans le référentiel R', on est dans la représentation du Void Cube. On mélange le cube avec {H,G,D,P,a,h} , on obtient un état s du Void Cube.

un état s de Void Cube

Avec cet état s , on peut associer un état s' du Rubik's Cube de façon suivante: on tourne le cube entier pour ramener le référentiel R à sa position initiale, on est maintenant en présent d'un état s' du Rubik's Cube. On note µ les rotations-cube qui ramènent R à sa position initiale et s' = µ•s.
Voyons sur un exemple
s = a HDH'D'HPG h D²P'G
s' = a HDH'D'HPG h D²P'G . ^tD^tH'

Void Cube: un état s	Rubik's Cube: s'=µ•s où µ=tDtH'

On voit donc qu'on peut avoir un état du Rubik's Cube à partir d'un état du Void Cube et un élément de D(R).

La loi '*' dans (L, *)

Soit f une fonction défini ainsi
f: L -> G
(u,x,v,y,µ) -> µ•(u,x,v,y) = (µ•u, µ•x , µ•v, µ•y)

On va définir une loi '*' dans L , à partir de '.' et µ pour qu'elle fasse un groupe et que ce groupe (L, *) soit isomorphe à (G, .).

a=(u,x,v,y,µ)∈L, µ•a=(µ•u, µ•x , µ•v, µ•y)
a'=(u',x',v',y',µ')∈L, µ•a'=(µ'•u', µ'•x' , µ'•v', µ'•y')

Par définition:
A1. (µ•u).(µ'•u') = µ•(u.µ'•u')
A2. µ•x + µ•u[µ'•x'] = µ•(x + u[µ'•x'])
A3. (u,x,v,y,µ) * (u',x',v',y',µ') = (u.µ'•u' , x + u[µ'•x'] , v.µ'•v' , y + v[µ'•y'] , µ )
On peut vérifier que (L, *) forme un groupe.

Elélment neutre de L
Verifions que (id,0,id,0,id) est l'élément neutre de L

(id,0,id,0,id)*(u,x,v,y,µ) = ( id.µ•u, 0 + id[µ•x], id.µ•v, 0 + id[µ•y], id )
= ( µ•u, µ•x, µ•v, µ•y, id ) = ( id•(µ•u), id•(µ•x), id•(µ•v), id•(µ•y) )
= ( (id.µ)•u, (id.µ)•x, (id.µ)•v, (id.µ)•y ) = (µ•u, µ•x, µ•v, µ•y ) = (u,x,v,y,µ)

(u,x,v,y,µ)*(id,0,id,0,id) = (u.id•id, x + u[id•0], v.id•id, y + v[id•0], µ)
= (u.id, x + u[0], v.id, y + v[0], µ) = (u,x,v,y,µ)

donc (id,0,id,0,id) est l'élément neutre de L

f: L -> G
(u,x,v,y,µ) -> (µ•u,µ•x,µ•v,µ•y)

I) f est un morphisme, en effet
a=(u,x,v,y,µ) -> f(a)=(µ•u, µ•x , µ•v, µ•y)
a'=(u',x',v',y',µ') -> f(a')=(µ'•u', µ'•x' , µ'•v', µ'•y')
f(a) f(a') = (µ•u.µ'•u' , µ•x + µ•u[µ'•x'] , µ•v.µ'•v' , µ•y + µ•v[µ'•y'])
= ( µ•(u.µ'•u') , µ•(x + u[µ'•x']) , µ•(v.µ'•v') , µ•(y + v[µ'•y']) ) d'après A1 et A2
et
a*a' = (u.µ'•u', x + u[µ'•x'], v.µ'•v', y + v[µ'•y'], µ)
f(a*a') = ( µ•(u.µ'•u'), µ•(x + u[µ'•x']) , µ•(v.µ'•v'), µ•(y + v[µ'•y']) ) = f(a) f(a')
f est un morphisme

II) f est visiblement surjective: (u,x,v,y) provient de (u,x,v,y,id)

III) f est injective
f(a) = (µ•u, µ•x , µ•v, µ•y) = (id,0,id,0)
µ•u = id ⇒ il n'y a que la rotation identique qui ne bouge pas les 12 arêtes donc µ=id
id•u = id
u=id
µ•x = 0
id•x = 0
x = 0
même calcul pour les sommets
donc a=(id,0,id,0,id) f est bien injective

finalement f est bijective et (L,*) isomorphe à (G,.) . Les trois axiomes A1,A2,A3 permettent à L forme un groupe isomorphe à G
l' inverse de a∈L vaut donc: a^-1=f^-1[f(a)^-1]

Et voilà V ⊂ L=G , il n'y a pas de contradition .... dans G les éléments de V sont identifiés à K
K = { (u,x,v,y)∈G tel que u((BA)) = (BA) } l' arête (BA) ne bouge pas.
K isomorphe à V. Les états impairs de V sont des états quand (BA) bien placé mais mal orienté (B=vert, A=jaune) , dans notre notation x=(x₁,x₂,... ,x₁₂) avec x₉=1

Concrètement

Résumons: Tenez votre Rubik's Cube mélangé de façon suivante:
centre (H)=blanc, centre (A)=vert
1. Si l'arête (jv)=jaune-vert n'est pas à sa place (BA) , c'est un état du Rubik's Cube
2. Si l'arête (jv)=jaune-vert est à sa place (BA) , c'est un état du Void Cube , de plus si (jv)=jaune-vert est mal orientée c'est un état impair (état qui conduit directement aux états singuliers).
Ainsi ça montre que vous avez une chance sur deux 1/2 de tomber dans un état singulier en Void Cube.

Concrètement, prenez un Rubik's Cube mélangé et placez le dans le référentiel R (Haut=blanc, Avant=vert), on est en présence d'un état du Rubik's Cube

Un état du Rubik's Cube	Un état du Void Cube

Si le Void Cube est dans le Rubik's Cube alors comment puis-je reconnaitre les états du Void Cube , parmi les états du Rubik's Cube ??
Les états du Void Cube possède un "marqueur" , un "ADN" ..., c'est l'arête (jv)=jaune-vert qui ne bouge pas !!! donc parmi les états du Rubik's Cube, les états dont l'arête (jv) ne bouge pas on peut dire que c'est un état du Void Cube !! De plus si l'arête (jv) est bien orientée c'est un état pair.

Un état impair du Void Cube	Un état pair du Void Cube

Passage du Rubik's Cube à Void Cube et inversement

On passe de R à R' par des rotations-cube µ du type ^tH, ^tD, ^tA, etc... On dit que la rotation µ est paire si on a un nombre pair de rotations-cube ^tX.
La fig ci-dessous montre qu'on passe de R à R' par µ=^tD'^tD'^tH pour ramener l'arête (jv) à sa place initiale. Ici la rotation µ est impaire donc on aura un état singulier
pour ce Void Cube.

Référentiel R: Rubik's Cube	R -> R' par µ=tD'tD'tH Void Cube

Comme µ est impair, si vous résolvez ce Void Cube vous tombez surement sur un état singulier.

Pour passer de R' à R c'est pareil on tourne le cube pour ramener les centres (H=blanc, Avant=vert) à leur place initial.

Commentaire important

On pourrait fixer le Void Cube par un sommet par exp (BPG) au lieu de l' arête (BA) , le résultat sera pareil.

Référentiel R"

Si on fixe le Void Cube par (BPG)=(jko) càd avec B=jaune, P=klein, G=orange . dans cette représentation on aura:

1. M = <H,A,D,h,a,d> (= <H,A,D,H*,A*,D*>)
2. V⁺ = S₁₂ x Z₂¹² x S₇ x Z₃⁷
   Le groupe du Void Cube V est un sous groupe de V⁺ vérifiant
   (u,x,v,y)∈V⁺
   ∑x_i = 0 (mod 2)
   ∑y_i = 0 (mod 3)
3. |V| = |G|/12
4. K = { (u,x,v,y)∈G tel que v((BPG)) = (BPG) ou v((BPG)) = (HDA)}
5. V isomorphe à K

I. Dans la représentation (BPG)
Prendre un Rubik's Cube mélangé et placer dans le référentiel R
1. Chercher le sommet (jko)=jaune-klein-orange, s'il est dans l'emplacement (BPG) ou (HDA) , alors c'est un état du Void Cube. S'il est dans (HDA) c'est un état impair
2. Si le sommet (jko)=jaune-klein-orange, n'est pas dans (BPG) ni dans (HDA) c'est un état du Rubik's Cube
3. Pour résoudre ce Void Cube:
A. Si le sommet (jko)=jaune-klein-orange, est dans (HDA) on range successivement les sommets Haut:
(HDA), (HPD), (HGP), (HAG) , une fois les sommets Haut sont rangés on a toutes les couleurs , on résout donc normalement le Cube
B. Si le sommet (jko)=jaune-klein-orange, est dans (HGP) on range successivement les sommets Bas:
(BPG), (BGA), (BAD), (BDP) , une fois les sommets Bas sont rangés on a toutes les couleurs , on résout donc normalement le Cube

II. Dans la représentation (BA)
Prendre un Rubik's Cube mélangé et placer dans le référentiel R
1. Chercher l'arête (jv)=jaune-vert, si elle n'est pas à sa place (BA) , c'est un état du Rubik's Cube
2. Si l'arête (jv)=jaune-vert est à sa place (BA), c'est un état du Void Cube , de plus si elle est mal orientée c'est un état impair.
3. Pour résoudre ce Void Cube, on range successivement les pièces:
(BA), (BAD), (BD), (BDP), (BP), (BPG), (BG), (BGA) , une fois le Bas est résolu on a toutes les couleurs , on résout donc normalement le cube

Rappel les notations: (BPG) désigne un emplacement, une position , un trou, ... tandis que (jko) désigne un sommet, un truc à 3 couleurs .

ATTENTION : il n'y a pas de correspondant entre la représentation (BPG) et (BA) càd si dans la représentation (BPG) un état s est un état du Void Cube, cet état s n'est pas forcement un état du Void Cube dans la représentation (BA) c'est normal puisque les pièces (jko), (jv) bougent indépendament, le sommet (jko) est à sa place, mais l'arête (jv) n'est pas forcement à sa place.

C'est vraiment extraordinaire, tout dépend de la façon de tenir le cube, parfois il représente le Rubik's Cube, parfois le Void Cube. Et quand il représente le Void Cube il peut même nous dire si on a un l'état pair ou impair donc on aura un état singulier ou non avant même la résolution !! C'est comme si vous avez une toile, et suivant la façon de tenir la toile vous verrez un tableau de Van Gogh ou du Picasso !!!!

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DMJ: 05/06/2023