Résolution du Golden Egg

Notation

Les centres seront notés entre parenthèses :
(H)aut, (B)as, (A)vant, (P)ostérieure, (G)auche, (D)roite.

Les sommets seront notés sans parenthèses :
sommets Haute: A=Avant, G=Gauche, P=Postérieure, D=Droite.
sommets Bas: B=Bas, O=Ouest, H=Haut, E=Est

Les rotations
Voici les rotations (par rapport aux sommets):
A, G, P, D
B, O, H, E
B = tourner 120° le sommet Bas dans le sens horaire.
B' = tourner -120° (dans le sens anti-horaire) le sommet Bas

Nom des pièces	Les rotations B,O,H,E

Rotation O	Rotation B

Et les rotations E = opposé O et H = opposé B
REMARQUE : Ces 4 rotations se passent autour du centre (H)aut

On va choisir le centre (H)aut = la tête de l'oeuf et (A)vant = MEFFERT une fois pour tout .

A- Ranger les 4 sommets-Haut

On place les sommets-Haut au tour du centre Haut la tête de l'oeuf, en utilisant les rotations B,O,H,E.
S'ils ne sont pas bien orientés on les orient tout de suite.
Pivoter sommet A^- = [B'O'] = B'O'BO ; préparer, pivoter, placer, remettre
NOTE: dans les crochets [B'O'] les rotations B , O sont adjacentes

A- = [B'O']

B- Placer les centres

a) On range (bien placé et bien orienté) d'abord le centre (P) : (A)->(P): [OH'] = OH'O'H
s'il n'est pas bien orienté, on l'oriente avec [OH']²

b) On range le centre (D) : (G)->(D): [BO'] = BO'B'O
s'il n'est pas bien orienté, on l'oriente avec [BO']²

(A)->(P): [OH']	(G)->(D): [BO']

c) On place le centre (B) : (G)->(B)->(A): [B'E'][HE] = B'E'BE . HEH'E'
Permutation circulaire de 3 centres:

(G)->(B)->(A): [B'E'][HE]	(D)->(A)->(B):[H'E'][HO]

C- Orienter les centres

On a 2 centres à tourner (180°)

(G)°(A)° = [HE']²[EB']²

Remarque : Si les 2 centres à pivoter ne sont pas en position (G) et (A), il suffit de les déplacer (B)->(A)->(G), les pivoter puis les remettre à leur emplacement origine

D- Les états singuliers

Le Golden Egg peut générer une singularité, plus précisement une singularité-centre
En effet on a 2 centres symétriques (tête, pied) donc invariant par rotations, ce qui peut générer une singularité : pivoter un seul centre.

singularité-centre

Pour fixer cette singularité, ce n'est pas bien difficile, mais c'est un peu long
1. On place le centre à pivoter en (G) et le pied en (A) : (A)->(G)->(B) : [B'E'][HE]
2. On pivote : (A)°(G)° = [OH']²[HE']²
3. On remet les centres à leur emplacement origine : (B)->(G)->(A) : [EH][E'B']

E- Orienter les sommets Bas

C'est la partie la plus délicate, car il faut reconnaitre l'orientation d'un sommet: 1 ou -1 pour pouvoir tenir le cube correctement.
Remarque : Pour connaitre l'orientation d'un sommet Bas on utilise le truc suivant: On place le triangle:
1. trou = sommet
2. pièce pointe à gauche = +1
3. pièce pointe à droit = -1

gauche=1, droite=-1

Posons K = [BO']⁴
K pivote les 4 sommets Bas comme indique la fig ci-dessous

Action de K sur le cube

Deux cas se présentent:

- Lorsqu'on a 2 sommets (oppoés) à pivoter, il faut tenir le cube de telle sorte que B=1, puis appliquez K, le but c'est de "détruire" ces 2 sommets , on passe alors au cas 4 sommets à orienter.

Tenir B=1	Tenir le cube comme ça B=1

1. Tenir B=1 : le "-1" à Gauche
2. Appliquer [BO']⁴

- Lorsqu'on a 4 sommets à pivoter, il faut tenir le cube de telle sorte que (B,O)=(-1,-1) puis appliquez K .

Tenir (B,O)=(-1,-1)	Tenir le cube comme ça (B,O)=(-1,-1)

1. Tenir (B,O)=(-1,-1) : les "-" devant
2. Appliquer [BO']⁴

Tout cela suppose qu'on reconnait l'orientation d'un sommet 1 ou -1 mais si on ne sait pas on peut quand même s'en sortir aveuglement !
posons Z = [OH']⁴
==> 2 sommets à pivoter on applique Z
==> 4 sommets à pivoter on applique K
Le graphe si-dessous vous permet de s'en sortir (aveuglement). Si on a de la chance on applique seulement K , le pire des cas c'est KZZKK.

Graphe de sortir

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DMJ: 21/09/2024