La face cachée du Rubik's Cube

02 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D} , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Rubik's Cube, ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

Les quaternions

Ici vous arivez au pays des merveilles ... Comment un quaternion peut-il entrer dans un truc comme ça ? ... dans un Rubik's Cube !!! mais je rêve .....
Voyons de plus près, rappelons ce que c'est un quaternion. C'est un monbre complexe "généralisé" , en fait c'est un corps non commutatif contanant C découvert par Hamilton (le dernier corps construit à partir de Rn). Un quarternion c'est quelque chose comme ça:
q = a + bi + cj +dk où a,b,c,d sont des rélles et i,j,k vérifiantt les relations suivantes:
On appelle le groupe quaternion c'est:
Q = {-1, -i, -j ,-k, 1, i, j, k }
Ce groupe est caractérisé par les propriétés suivantes:
i4 = 1, i² = j² , iji = j (*)
NOTE par définition i² vaut -1, i²=-1

Soit maintenant les 2 états suivants
a = (u,x,1,0) où u = (1,4)(2,3) et x=(0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0)
b = (p,z,1,0) où p = (1,3)(2,4) et z=(0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0)
On a: -x = (-x1,-x2,...,-x12)
et soit l'état (1,1,1,0) où on a noté:
  • 1=ida identité-arête
  • 1=(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) vecteur orientation d'arêtes
  • 1=ids identité-sommet
  • 0=(0,0,0,0,0,0,0,0) vecteur orientation des sommets
cet état qu'on peut noter -1 en effet on a
1 = (1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0) = (-1,-1,-1,-1,0,0,0,0,0,0,0,0) = -(1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0)= -1 (dans Z2 l'opposé de 1 est lui même car 1+1=0)
Pour ne pas alourdir les écritures on prend seulement le début de a et b la partie "arête"

a = (u,x) où u = (1,4)(2,3) et x=(0,1,0,1)
b = (p,z) où p = (1,3)(2,4) et z=(0,0,1,1)

a² = (u,x)² = (u²,x+u(x)) = (1,1) = - 1
détaillons pour le calcul a²
permutation: u²=1=id c'est clair
orientation: x + u(x)
x1+x4 = 0+1=1
x2+x3 = 1+0=1
x3+x2 = 0+1=1
x4+x1 = 1+0=1
c'est bien ce qu'on a trouvé. On fait la même chose pour b
b² = (p,z)² = (p²,z+p(z)) = (1,1) = - 1
et
a4 = 1

aba = (u,x)(p,z)(u,x)
permutation: u([1234])=[4321] ⇒ p([4321])=[2143] ⇒ u([2143])=[3412]=(1,3)(2,4) donc upu = p

(up, x+u(z))
permutation: up=(1,2)(3,4))
orientation: x + u(z)
x1+z4 = 0+1=1
x2+z3 = 1+1=0
x3+z2 = 0+0=0
x4+z1 = 1+0=1

(upu, x'+up(x))
permutation: upu=p orientation: x' + (up)(x)
x'1+x2 = 1+1=0
x'2+x1 = 0+0=0
x'3+x4 = 0+1=1
x'4+x3 = 1+0=1
= (p,z) = b (wwoaaowwww !! )

d'où
aba=b
a et b vérifient toutes les relations (*), l'ensemble Q° = < a,b > est alors isomorphe à Q avec isomorphisme f défini par
f : Q° → Q
f(a) = i
f(b) = j
Autrement dit on identifie a = i et b = j, nul ne peut soupçonner que les motifs suivants représentent le groupe des quaternions Q = { 1, i, j, k, -1, -i, -j, -k } c'est-à-dire l'entier -1 le nombre comple i, le quaternion j ... !!!!

complexe i=(HA,HD°)((HP,HG°) complexe j
complexe k nombre -1=(HA)°(HD)°(HP)°(HG)°


entier 1, nombre complexe i, quaternion j, quaternion k
Remarque : Le programme Cube Explorer fournit la formule lorsqu'on lui donne le motif. C'est avec ce programme que j'ai pu trouver a=i et b=j

i = D P' A D' P A' H P H P' A D' A' D'
j = P H G H'² G' P' H' D' H'² D
k = G' P' D' H D P D H P' H' P G D' H'

Résummons:
Seule la partie d'arête
i = (u,x) où u=(1,4)(2,3) et x=(0,1,0,1)
i² = -1 = (1,1) , 4 arêtes Haut flipées

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