La rencontre du troisième Copter

06 Jul 2015

Préface Dans cet article je vais vous raconter mes aventures avec le Curvy Copter III.

Tout a commencé...

Tout a commencé par une balade sur la Toile, de forums en forums, de sites marchants en sites marchants ... et là je tombe sur un twist vraiment joli j'aime la forme cubique et celui là était cubique et a un design vraiment joli, son nom de code est Curvy Copter III

J'ai donc en commandé un. Une fois la commande est passée je commence à chercher les informations de ce twist : nom de l'inventeur, année d'invention ...
Puis le temps de la résolution arrive...

Analyse

Voyons ce que subit le twist par la simple rotation de base A:
1. d'abord l'arête (HA) pivote, et si on désigne k le nombre de pivotement de l'arête (HA)=a , la signature de l'arête a est , par définition sig(a) = (-1)k
2. à chaque rotation A, on ajoute 3 à l' orientation des sommets, donc le nombre d'orientation des sommets est un multiple de 3
3. et puis la rotation A engendre une permutation u des pièces
u = csfp ; (c)entres, (s)ommets, (f)euilles, (p)étales.

Rotation A

  1. c = (c1,c2)
  2. s = (s1,s2)
  3. f = (f1,f2)(f3,f4)
  4. p = (p1,p2)(p3,p4)(p5,p6)

a) On voit donc la sig(u) = impair = -1 (7 couples échangés) donc le Copter III est de type normal, il peut avoir n'importe quel état (pair ou impair)

b) Les centres, les sommets, les pétales, sont synchronisés (en phase) puisque sig(c)=sig(s)=sig(p)

c) Les feuilles ont une permutation paire , sig(f) = pair = 1

d) On voit donc que les arêtes du même orbite sont en phase avec les centres sig(a)=sig(c)

Réflexion

I. Supposons que tous les arêtes soient bien rangées , leur signature vaut pair sig(id)=pair, comme les centres et les arêtes sont en phases, donc les centres ont un état pair . Seules les permutations paires suffisent pour ranger les centres or les permutations paires sont engendrées par les 3-cycles, autrement dit il suffit d'un 3-cycle (et les conjugaisons, c'est-à-dire ses conjugués) pour placer tous les centres. Essayons donc C = [DA] = DAD'A' = DADA = (DA)² qui donne bien un 3-cycle des centres

II. Lorsque les centres sont bien rangés, pour le même raisonnement qu'en I, il suffit simplement un 3-cycle pour placer (pas ranger) les sommets, je trouve
S = (DADP)²
Une fois placé tous les sommets , il faut maintenant une formule pour les orienter
Voyons ce que fait S:
S déplace 3 sommets en les pivotant, l 'idée est donc de tourner le cube puis remettre en place les sommets, on aura alors forcement pivoté les sommets !

S tH' = tourner le cube entier suivant H'
Remettre les sommets en place

On trouve S° = (DADP)²(ADAG)² qui pivote les 2 sommets.

III. Pour les feuilles si on observe bien, la permutation f = (f1,f2)(f3,f4) échange 2 feuilles (f1,f2) d'une orbite et 2 autres feuilles (f3,f4) d'une autre orbite, donc pour chaqu'orbite les feuilles sont en phase avec les centres, ça signifie que pour ranger les feuilles on a besoin simplement un 3-cycle. je trouve
F = (AEDE)²

IV. Pour les pétales c'est pareil, on a besoin aussi un 3-cycle pour ranger les pétales
Je trouve T = (DG)²PAP .(GD)²PAP

Finalement on peut restaurer le cube avec 5 formules à condition de ne pas le mélanger avec les j-rotations (jumbling)
  1. C = (DA)² ; centre
  2. S = (DADP)² , S° = (DADP)²(ADAG)² ; sommet
  3. F = (AEDE)² ; feuille
  4. T = (DG)²PAP .(GD)²PAP ; pétale

Jumbling

Pour le jumbling, il suffit de reprendre les 4 formules du Curvy Copter.
Mouvement qui échange 2 feuilles du même orbite et 2 feuilles des orbites différents.
Jumbling: D+O+AO'+D'+A Jumbling: E-G-AG'-E'-A

Mouvement qui échange 2 feuilles du même orbite.
DG. (D+O+AO'+D'+A) .GD DG. (E-G-AG'-E'-A) .GD

Ces formules déplacent d'autres pièces que les feuilles, mais ce n'est pas important on s'occupera ces pièces plus tard.

Structure mathématique

Il y avait un problème qui me hante depuis toujours: La parité du Square-1 . En effet la parité du Square-1 est très mystérieuse on ne comprend pas vraiment ce qui se passe, contrairement avec la parité du Barrel ou du Void Cube elles sont faciles à comprendre à expliquer....
Grâce à ce Curvy Copter III je comprends maintenant mieux la parité du Square-1, mais c'est une autre histoire, revenons à nos moutons.
Pour commencer, regardons les 4 fig ci-dessous ...

I. état résolu ===> II. forme non-cubique ===>
III. forme cubique ===> IV. état résolu

... Et suivons le scénario suivant:

Le Mélangeur mélange le twist puis donne au Solveur pour le restaurer
Voici les contraints
A1- Quand le Mélangeur donne le twist au Solveur, il faut qu'il soit en forme cubique
A2- Le Solveur ne connait que des rotations de base {A, P, G, D, O, E, a, p, g, d, o, e}
A3- On ne peut pas remplacer les j-rotations (jumbling) par des rotations de base

Si le Mélangeur a mélangé le cube uniquement par des rotations de base (sans jumbling) le Solveur restaure le cube sans problème. Mais si le Mélangeur a utilisé des j-rotations (jumbling) il est clair que le Solveur rencontrera des problèmes durant la résolution, vu que le Mélangeur a mélangé le cube par des rotations inconnues aux Solveur du genre E+, G+ , O-, etc ...
Lorsque le Solveur doit permuter 2 feuilles ce qui est impossible pour lui vu qu'il ne dispose que de rotations de base et que la règle A3 dit qu'aucune rotation de base peut être remplacée les j-rotations. Il se déclare qu'il y a là un problème de parité !! Mais du point de vu du Mélangeur, il n'y a pas de problème du tout !! puisque le mélange se fait par les rotations existantes, possibles du cube et donc cet état impair est un état l'égale du cube !!

Pour le Solveur, durant le mélange le Mélangeur a violé la loi de permutation sig(arêtes_même_orbite)=sig(centre)
Pour le Mélangeur il n'a rien violé du tout, il a mélangé le cube par des rotations existantes.
Pour le Solveur il y a un problème, pour le Mélangeur il n'y a pas de problème

Alors question : Qui a raison ??

Proprement parler le Mélangeur a raison, puisque l'état impair c'est un état l'égal du cube, il peut donc se produit comme celà en chante. Mais le Solveur connait seulement des rotations "de base", il n'y peut rien faire devant cette situation, donc il déclare là il y a un problème.Donc l'expression 'problème de parité' c'est sous entendu ça conserne le Solveur et non le Mélangeur.
Le Solveur dispose un objet mathématique G nommé le groupe du twist et que ce groupe G ne peut pas occuper les états impairs du cube.

Plaçons nous donc du côté du Solveur
Le Solveur construit un objet mathématique G nommé le groupe du twist et que ce groupe provient d'un autre groupe M engendré par des rotations "de base" du twists. Le problème c'est quelles rotations du twists qu'on considère comme "base" ?? et quelles sont les pièces visées (étudiées) ??

  • Pour le Rubik's Cube c'est M=<H,B,A,P,G,D> on ne prend pas h,d,a et les pièces étudiées: sommets, arêtes (pas les centres)
  • Pour le Void Cube c'est M=<H,P,G,D,h,a> on ne prend pas B,A et les pièces étudiées: sommets, arêtes
  • Pour le Pyraminx c'est M=<G,D,H,P> on ne prend pas les rotations-sommets et les pièces étudiées: arêtes (pas les sommets ni les centres)
  • Pour le Square-1, M=<3,3B,T,K,C,Q> on ne prend pas 1,B,/; et les pièces étudiées: sommets, arêtes (pas l' équateur)
  • Pour nous le Curvy Copter III, c'est M=<A, P, G, D, O, E, a, p, g, d, o, e> , on ne prend pas les j-rotations et les pièces étudiées: sommets, feuilles, pétales, centres (pas les arêtes)

L'expression "problème de parité" c'est par rapport au groupe G du twist, ce groupe possède une loi de permutation et durant le mélange (ou la résolution) on a violé cette loi.
Quand le Mélangeur donne à le Solveur le puzzle sous la forme cubique, il doit passer de la phase II (non-cubique) à la phase III (cubique) avec les mouvemnts jumbling, donc pour fixer la parité le Solveur doit connaitre ou redécouvrir ces mouvements.

En résumé : Avec le groupe G du twist, et les 4 mouvements jumbling , le Solveur peut restaurer le puzzle.

En passant le groupe G du Curvy Copter III est
G = sommets x centres x (feuilles)4=orbites x pétales
G = (A8 x Z37) x A6 x (A6)4 x A24

[1]

Accueil

DMJ: 06/07/2015









Facile

Moyen

Difficile

Les Crazy

Les Stars

Divers

Théorie des Twists

Quiz (Master Cube)









>