Le groupe du Floppy

06 Jul 2015

Structure mathématique du Floppy Bien que le Floppy soit un simple puzzle, mais son étude théorique est bien intéressant, car il nous aide à mieux comprendre ce qui se passe pour les puzzles plus compliqués tels que le Rubik, Skewb etc ...


Analyse

Avant d'aller plus loin, précisez bien la notion "permutation", et la notion "orientation"
- Une permutation, c'est qu'il y a un déplacement en cycles des pièces
- Une orientation, c'est qu'il y a plusieurs façons que la pièce se place (se loge) dans un emplacement.

Prenons notre Floppy Cube et analysons le:
Floppy Cube D = / (Slash)

Examinons une rotation de base par exp D (on note D aulieu de D²) on a:

1. Le sommet (HAD) se déplace à )BAD( mais il a une seule façon de se loger dans )BAD(, donc les sommets se déplacent, mais pour un emplacement donné un sommet a une seule façon de se loger dedans !! donc pour les sommets il n'y a pas d'orientation, on a affaire à S4

2. Pour l'arête (AD) elle ne bouge pas ! donc pas de permutation, par contre elle a 2 façons de se placer dans )AD( . Les arrêtes ne se déplacent pas mais elles ont 2 orientations, donc pour les arêtes on a affaire à Z24

Finalement pour le Floppy Cube on a affaire à quelque chose comme ça:
G+ = S4 x Z24
Si on désigne k le nombre d'orientations des arêtes k=∑xi , et u la permutation des sommets, il y a une loi simple qui relie les arêtes et les sommets (il suffit d'observer la rotation D)

sig(u) = k (mod 2) (*)
ou (c'est la même chose)
sig(u) = (-1)k (*)

NOTE : Pour compter le nombre d'orientations des arêtes c'est simple, il suffit de compter le nombre d'étiquettes jaunes sur la face blanche. En effet on peut marquer 0 sur la face blanche (donc 1 sur la face jaune) et prendre la couleur dominante est blanche.
Les facettes marquées

La loi interne de G+

On voudrait définir une loi '.' de composition sur G+ , et si on observe bien les rotations de base D, H, G, B on trouve la loi de composition:
(u,x)(v,y) = (uv, x+y)
Les éléments de G se sont donc les éléments de G+ qui vérifient la loi (*) càd
G = { (u,x) / sig(u) = (-1)∑xi }
On rappelle que G c'est l'ensemble des états produits par M = < G, D, H, B >
Ce qui donne |G| = (4!/2) x 24 = 192 on divise par 2 car les permutations doivent respecter la loi (*)

Pourquoi la contraine (*) nous fait perdre la moitié des permutations ? , eh bien voyons un peu de plus près ...
Quelque soit le nombre d'orientations k, le résultat (k mod 2) est toujours 0 ou 1 (ou encore (-1)k = 1 ou -1) , càd il n'y a que 2 issus. Fixons donc (k mod 2) = 1 dans ce cas on a sig(u) = 1 (impair) donc on a la moitié de permutations, de même, si on fixe (k mod 2) = 0 on aura sig(u) = 0 pair on a aussi la moitié de permutations. Dans tous les cas on n'a que la moitié des permutations c'est pourquoi il faut diviser 4! par 2 : 4!/2

Commentaire

On pourait comparer le groupe de Floppy au groupe du Pyraminx, ou du Pocket.
En effet les 2 ont un apparence semblable

Floppy:
  1. G+ = S4 x Z24
  2. Loi de composition: (u,x)(v,y) = (uv, x+y)
  3. Pas de loi de twists
  4. Pas de loi de flips
  5. Loi de parité (permutations): sig(u) = ∑ xi (mod 2)

Pyraminx:
  1. G+ = S6 x Z26
  2. Loi de composition: (u,x)(v,y) = ( uv, x+u(y) )
  3. Pas de loi de twists
  4. Loi de flips: ∑ xi = 0 (mod 2)
  5. Loi de parité (permutations): sig(u) = 1

[1]

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DMJ: 06/07/2015









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