Les secrets du Pyraminx

29 Jan 2017

Le Groupe du Pyraminx G=G(P) G=G(P) c'est l'ensemble des états (on ignore les sommets et les centres, on n'étudie que les arêtes) produits par les mouvements de: M = < G,D,H,P > , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Pyraminx.


L'ensemble des étiquettes X

Soit X = {1,2,3, ..., 12} l'ensemble des étiquettes numérotées 1,2,... ,12 comme indique la fig ci-dessous

L'ensemble des étiquettes X

Deux rotations étendues définies par:
Γ =(AD)+
Ω = (AD,AG)
A chaque rotation de base {G,D,H,P} on associe une permutation {pG, pD, pH, pP} de Sx et à chaque rotation étendues {Γ, Ω} on associe une permutation étendue pΓ, pΩ.
Soit Λ l'ensembe des permutations engendrées par {pH, pB, pA, pP, pG, pD}
et Λ+ engendré par { pG, pD, pH, pP, pΓ, pΩ }
Λ = < pG, pD, pH, pP > et
Λ+ = < pG, pD, pH, pP, pΓ, pΩ >

Permutations standards
pG = (1,10,9)(8,3,12)
pD = (3,4,11)(10,2,6)
pH = (2,8,5)(4,1,7)
pP = (5,9,11)(7,12,6)

Permutations étendues (violer les lois)
pΓ = (4,2)
pΩ = (4,1)(2,8)

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/index.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP
C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin
C:\gap4r7\bin>gap
gap>
Ici on colle le text gap_pyraminx.txt

gap_pyraminx.txt:
pG := (1,10,9)(8,3,12) ;
pD := (3,4,11)(10,2,6) ;
pH := (2,8,5)(4,1,7) ;
pP := (5,9,11)(7,12,6) ;
pGamma := (4,2) ;
pOmega := (4,1)(2,8) ;
pyraminxplus := Group( pG, pD, pH, pP, pGamma, pOmega );
Spyraminxplus := Size( pyraminxplus );
pyraminx := Group( pG, pD, pH, pP);
Spyraminx := Size( pyraminx );
indice := Spyraminxplus / Spyraminx ;

Le GAP nous donne bien
+| = 46080
|Λ| = 11520

Les 2 lois du Pyraminx

Le Pyraminx possède 2 lois: une sur l'orientation et l'autre sur les permutations.

Orientation des arêtes

Imaginez d'une part, que le Pyraminx possède des "emplacements-arêtes" à 2 facettes marquées comme indique la fig1 ci-dessous

fig1
Et d'autre part, les arêtes ayant 2 couleurs (comme indique la fig2 ) dont l'une est dominante.

fig2

Voici les 6 arêtes avec leur couleur dominante en première:
x1=rouge-vert, x2=vert-bleu, x3=bleu-rouge,
x4=jaune-bleu, x5=jaune-vert, x6=jaune-rouge

Couleur dominante "*"

Les arêtes xi se baladent de trous en trous pour se loger dans des emplacements (BA), (GD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 flip) , sinon elle vaut 0 zéro, par exemple l'arête rouge-vert=x1 se place dans (BA) avec (B=vert,A=rouge) alors x1 vaut 1 (1 flip) car la couleur dominante (rouge) est sur la facette marquée 1, de même si l'arête jaune-bleu=x4 se trouve dans (AG) avec (A=jaune,G=bleu) alors x4 = 0 (0 flip) car la couleur dominante jaune se trouve sur 0 .

x1=1, x4=0


1. Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un nombre pair

∑ xi = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,x3,...,x6)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

Les mouvements du Pyraminx se composent à partir des rotations élémentaires {G,D,H,P} il suffit donc de voir ce qui se passe pour une rotation élémentaire, voyons par exemple pour D
D'après le marquage on a:
(BA)=(x3,x3+1), (AD)=(x2,x2+1), (BD)=(x5,x5+1).
Les xi sont placés sur la couleur dominante.

Avant la rotation D Après la rotation D

Rotation D => f=(p,a)
Permutation: p = 1->6->4 = (1,6,4)

x'1 = x6
x'4 = x1+1
x'6 = x4+1

Orientation: a = (0,0,0,1,0,1) on a bien a=0 (mod 2)

La formule:
x' = a + p(x) avec D=(p,a)
nous montre que x'=0 (mod 2) en effet
a=0 (mod 2) , et x=0 (mod 2) aussi, comme p ne change rien sur le modulo donc
x = a + p(x) = 0 (mod 2).

la 1ère loi est ainsi démontrée.

2. Loi de parité: les permutations des arêtes sont pairs

Démontration : La démontration se fait en 2 étapes.
A1. Une rotation élémentaire D par exemple, fait permuter 3 arêtes
Soit p = la permutation assiociée à D

On a p = 1->6->4 = (1,6,4) c'est une parmutation paire comme une formule est composée de rotations élémentaires donc la permutation q associée à une formule est paire (la somme des nombres pairs est paire)
On a donc montré qu'une formule gènère une permutation paire q ∈ A6.

A2. Inversement, étant donnée une permutation paire q, il faut trouver une formule associée.
Pour cela on utilise la propriété suivante:

Propriété : La famille des 3-cyles (a,b,x) où a,b donnés et x ∈ [1,6]-{a,b} engendre A6

En cherchant un peu on trouve les 3-cycles désirés
[HD] => u = (1,4,3)
P[HD]P' => v = (1,4,6)
P'[HD]P => s = (1,4,5)
[D'G] => t = (1,4,2)
Donc pour n'importe permutation pair q, elle est exprimée par u,v,s,t donc on trouve bien une formule associée à q.
Autrement dit <G,D,H,P> donne exactement A6
La 2ème loi est ainsi démontrée

REMARQUE
Trouver la famille (a,b,x) où a,b fixes et x ≠ a,b n'est pas évident à trouver à priorie. mais il y a une technique que nous avons déjà utilisée dans "Théorie des Twists: Square-1"

Le groupe du Pyraminx

Si on observe bien le Pyraminx on voit que:
  1. Les sommets ne servent strictement à rien !!!
  2. Les centres ne servent pas grande chose non plus! car ils tournent autour de leur sommet c'est tout!
Finalement ceux qui nous intéressent ce sont des arêtes. Une arête peut balader par tout et a 2 orientations donc on est en face d'un truc comme ça:
G+ = S6 x Z26 , c'est l'ensemble de tous les états du Pyraminx y compris le démontage/remontage du cube, ce qu'on appelle le groupe étendu du puzzle. Le group du Pyraminx G c'est l'ensemble des états produits par les rotations élémentaires (rapple on ne regarde que les arêtes) donc c'est un sous groupe de G+.

Loi de G+ , le produit de 2 états (défini à partir de l'orientation des arêtes) :

t=(u,x) et k=(v,y)
tk = (u,x)(v,y) = (uv,x+u(y)) avec u(x) = (xu(1),xu(2),...,xu(6))

Le couple (u,x) ou (v,y) = (permutation,vecteur) que l'on nomme "état" , le produit de 2 états est donc
(u,x)(v,y) = (uv, x + u(y))

En résumé: Un état repésenté mathématiquement par (u,x) u=permutation et x=vecteur à 6 composantes à valeur {0,1} cad x=(0,0,1,0,1,1) par exp.
Le produit de 2 états: (u,x)(v,y)=(uv,x+u(y))

Voyons la rotation D:
Soit f=(p,a) l'état associé à la rotation D
Permutation: p = 1->6->4 = (1,6,4)
Orientation: a = (0,0,0,1,0,1)
ft = (p,a)(u,x) = (pu,x')
x' = a + p(x)

x'1 = 0 + x6
x'2 = 0 + x2
x'3 = 0 + x3
x'4 = 1 + x1
x'5 = 0 + x5
x'6 = 1 + x4

On retrouve bien la loi d'orientation pour les arêtes
Et voilà, on peut maintenant considèrer que G est un sous-groupe de G+.

Résumé
G+ = S6 x Z26 c'est l'ensemble de tous les états (standards+étendus) du Pyraminx.
et un élément de G est quelque chose comme ça:
t=(u,x)∈G+
u ∈S6, et x ∈Z26
qui vérifie:
1. ∑ xi = 0 (mod 2)
2. sig(u)=1

|G| = |A6| x |Z25| (pas de sommets ni les centres)
|G| = 6! 26/2x2 = 11520
Le Pyraminx est de type PAIR (sig(u)=1)


[1]

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DMJ: 29/01/2017









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