Le Megaminx

31 Mar 2016

Structure mathématique du Megaminx Le Megaminx a pratiquement la même structure mathématique que le Rubik's Cube.

Notation

Prenez votre Mégaminx et posez le sur la table, comme ceci:.


Les noms des faces... :
H(aut) , B(as), h(aut-opposé) | A(vant) , P(ostérieur) | G(auche) , D(roite), d(roite-opposé)...

Les rotations
A = tourner une fois la face Avant dans le sens positif (sens des aiguilles d'une montre).
A' = tourner une fois dans le sens négatif
A² = tourner deux fois dans le sens positif

On écit (HA) pour désigner le arête Haut-Avant ou (HAD) le sommet Haut-Avant-Droite
(HA)° = pivoter le arête (HA)
(HAD)° = pivoter le sommet (HAD)
Le point '.' ou les parenthèses '(', ')' qui se trouvent dans les formules sont là pour faciliter la lecture c'est tout!!!


Les 3 lois du Megaminx

Le Megaminxe possède 3 lois, comme le Rubik's Cube: une sur les permutations et deux sur l'orientation. Voyons un peu

Loi de parité:
les permutations des arêtes et des sommets ont la signature = 1

si u est la permutation des arêtes et v la permutation des sommets alors
sig(u) = sig(v) = 1 on dit que le Megaminx est de type localement pair .

Une rotation élémentaire A, par exemple, fait permuter 5 arêtes et 5 sommets, un 5-cycle pour les arêtes, et un 5-cycle pour les sommets
Soient p = permutation des arêtes et q = permutation des sommets

donc sig(p)=sig(q)=1

Démontrons cette loi par récurrence
Au départ (n=0) on a u=id (id=identité) et v=id car on ne fait rien, on a bien sig(u)=sig(v)=1
Supposons donc un mouvement T de longueur n avec l = permutation des arêtes et m = permutation des sommets , et sig(l) = sig(m) = 1
et soit S un mouvement de longueur n+1, avec u = permutation des arêtes et v = permutation des sommets , on passe de T à S par une rotation élémentaire X
S = TX
sig(u)=sig(l).sig(p)=1x1=1
sig(v)=sig(m).sig(q)=1x1=1
d'où
sig(u)=sig(v)=1
La 1ère loi est ainsi démontrée.


Orientation des arêtes

Imaginez d'une part, que le Megaminx possède des "emplacements-arêtes" à 2 facettes marquées comme l'indique la fig.1 ci-dessous

Voici le marquage
1. La face H que des 0
2. 1er couronne: (AD) avec A=0, (GA) avec G=0 etc ...
3. 2eme couronne: (AB) avec A=1 , (Ap) avec A=0, (Gp) avec G=1, (Gd) avec G=0, etc ...
4. 3eme couronne (comme 1er couronne , retournez le cube): (Bp) avec B=0 ,...
5. La face h que des 0

fig1: emplacements-arêtes avec les facettes marquées
0 = bien orienté


H ==> 0 = 0 (mod 2)
A ==> 1+1+1+1 =0 (mod 2)
B ==> 1+1 = 0 (mod 2)

Et d'autre part, les arêtes ayant 2 couleurs (numérotées comme l'indique le fig.2 ) dont l'une est dominante.

fig2: Les arêtes numérotées
Les xi sur 0


Voici les arêtes avec leur couleur dominante (couleur marquée *) en premier:

x1=blanc-vert, x2=blanc-orange, x5=blanc-rouge, ...
x6=vert-rouge, ...

* = les couleurs dominantes


Les arêtes xi se baladent de trous en trous pour se loger dans des trous-arêtes (HA), (HD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 sa orientation vaut 1 (1 flip), sinon elle vaut zéro (0=bien orienté), Par exemple l'arête vert-rouge x6 se place en (HA) avec (H=vert,A=rouge) alors x6 vaut 0 (0 flip, bien orienté) car la couleur dominante (vert) est sur la facette marquée 0, De même, si l'arête blanc-bleu x4 est dans (AD)=x4 avec (A=bleu,D=blanc) alors x4 = 1 (1 flip) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1

Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un multiple de 2 (un nombre pair)

∑ xi = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,x3,...,x30)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

Les mouvements du Megaminx se composent à partir des rotations élémentaires M = < H, B, A, P, G, D, h, b, a, p, g, d > il suffit donc de voir ce qui se passe pour les rotations de base, voyons par exemple pour A
D'après le marquage on a:
(HA)=(x1,x1+1), (AD)=(x6,x6+1), (BA)=(x16,x16+1), (pA)=(x11,x11+1), (AG)=(x7,x7+1)
Remarque : Les xi sont placés sur la couleur dominante ou le marquage 0

Avant rotation A Après rotation A

Permutation: p = 1->6->10->11->7 = (1,6,10,11,7)

x'1 = x6+1
x'6 = x10+1
x'7 = x1
x'10 = x11+1
x'11 = x7+1

x'= a + p(x)

On note 0xn pour dire qu'il y a n zéro exp: (...,1,0x5,1,...)=(...,1,0,0,0,0,0,1,...)
Orientation: a = (1,0x4,1,1,0,0,1,1,0x19) on a bien a = 0 (mod 2)

Demontration :
On va démontrer par récurrence:
Supposons à l'état n (T formule de longeur n ==> état (u,x) ) l'orientation des arêtes vaut x = 0 (mod 2).
On passe de l'état n à l'état n+1 (T' formule de longeur n+1 ==> état (u',x') ) par une rotation de base, par ex A ==> (p,a).
T' = TA ==> (u',x') = (u,x)(p,a)
Donc
x' = x + u(a)
comme x=0 (mod 2) l'hypothèse de récurrence
et a = 0 (mod 2) et que la permutation u ne change rien sur le modulo , on a
x' = 0 (mod 2).
L'état (n+1) les arêtes ont une orientation un multiple de 2, comme au départ, à l'état résolu l'orientation des arêtes vaut 0, donc quelque soit l'état du cube l'orientation des arêtes est toujours un multiple de 2. On a fait la démontration pour la rotation A et on ferra la même chose pour les autres rotation de base.


la 2ème loi est ainsi démontrée.

Orientation des sommets

Ici on fait la même chose comme pour les arêtes, il y a des emplacements-sommets à 3 facettes marquées comme indiqué sur la fig.5, et les sommets (numérotés comme indiqué la fig.6 ) ayant 3 couleurs dont l'une est dominante.

Voici le marquage
1. La face H que des 0, puis dans le sens anti-horaire on marque 1,2
2. La face Avant: pour chaque sommet on marque A=0 puis dans le sens anti-horaire on marque 1,2
3. Tourner le cube tH' marquer G, comme la face A : pour chaque sommet on marque G=0 puis dans le sens anti-horaire on marque 1,2
4. Retourner le cube on marquee h comme H

fig5: Trous-sommets avec les facettes marquées
0 = bien orienté


fig6: Les sommets numérotés

Voici les sommets avec la couleur dominante en premier:
y1=blanc-vert-rouge, y2=blanc-orange-vert, y5=blanc-rouge-bleu, ...
y6=vert-jaune-rouge, ...

* = les couleurs dominantes


Les sommets yi se baladent pour se placer dans les trous-sommets, à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 twist) , sur 2 son orientation vaut 2 (2 twists) , sur 0 son orientation vaut zéro (0 twist, 0=bien orienté). Par exemple, le sommet vert-jaune-rouge y6 se place en (HAD) avec (H=rouge, D=jaune, A=vert) alors y6 vaut 1 (1 twist) car la couleur dominante vert est sur la facette 1, de même pour le sommet blanc-orange-vert y2 dans )HGA( avec (H=orange,A=blanc,G=vert) alors y2=2 (2 twists) car la couleur dominante blanc se trouve sur 2 .

Loi des twists :
la somme des orientations des sommets est un multiple de 3

∑ yi = 0 (mod 3) ou en abrégé y = 0 (mod 3) avec y = (y1,y2,y3,...,y20)
on dit qu'il y a une conservation des twists .

Il suffit de montrer que c'est vrai pour une rotation de base, par exemple A ==> (p,a).
D'après le marquage on a:
(HAD)=(y1,y1+1,y1+2), (ABD)=(y6,y1+1,y6+2),
(ApB)=(y7,y7+1,y7+2), (AGp)=(y8,y8+1,y8+2)
(HGA)=(y2,y2+1,y2+2)
Remarque : Les yi sont placés sur la couleur dominante ou le marquage 0

Avant la rotation A Après la rotation A

Permutation: p = 1->6->7->8->2 = (1,6,7,8,2)

y'1 = y6+2
y'2 = y1+2
y'6 = y7
y'7 = y8
y'8 = y2+2

y' = a + p(y)
Orientation: a = (2,2,0x5,2,0x12) on a bien a = 0 (mod 3)

Demontration :
On va démontrer par récurrence:
Supposons à l'état n (T formule de longeur n ==> état (v,y) ) l'orientation des sommets vaut y = 0 (mod 3).
On passe de l'état n à l'état n+1 (T' formule de longeur n+1 ==> état (v',y') ) par une rotation de base, par ex A ==> (p,a).
T' = TA ==> (v',y') = (v,y)(p,a)
Donc
y' = y + v(a)
comme y = 0 (mod 3) l'hypothèse de récurrence
et a = 0 (mod 3) et que la permutation v ne change rien sur le modulo , on a
y' = 0 (mod 3).
Donc à l'état (n+1) les sommets ont une orientation un multiple de 3, comme au départ, à l'état resolu l'orientation des sommets vaut 0, donc quelque soit l'état du cube l'orientation des sommets est toujours un multiple de 3. On a fait la démontration pour la rotation A et on ferra la même chose pour les autres rotation de base.

la 3ème loi est ainsi démontrée.

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DMJ: 31/03/2016









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