La face cachée du Gear Shift

06 Jul 2015

Préface Le Gear Shift ne possède pas des rotations proprement parler, les pièces ne déplacent pas elles restent sur place et pivotent seulement. Le but de cet article c'est retrouver les formules H-8G8A-8 , H-5D5A-5 qui permettent de résoudre le Gear Shift


Les notations

Les "rotations" du Gear Shift sont assez spéciales.

A = Ecarter Avant-Postérieur, puis tourner (HGA) 1 cran dans le sens horaire.
A-1 = Ecarter Avant-Postérieur, puis tourner (HGA) 1 cran dans le sens contraire

rotation A
1.Ecarter Avant-Postérieur
2. Pivoter (HGA) un cran dans le sens horaire

Equation du type ax+by=c dans Z

Rappelons la résolution de cette équation dans Z
ax + by = c avec (a,b) = 1 (a et b premiers entre eux)
Comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Bezout dit qu'il existe des entiers u,v de Z tels que
au + bv = 1 (A) équation sans seconde membre
Donc soit (x0, y0) une solution particulière de (A) , sans seconde membre
On a alors
ax0 + by0 = 1
acx0 + bcy0 = c
Or on a aussi:
ax + by = c
D'où (en faissant la soutraction)
a(x-cx0) + b(y-cy0) = 0
Soit
a(x-cx0) = b(cy0 - y) (B)
b|a(x-cx0) et (a,b)=1 donc
b|(x-cx0) (théorème de Gauss)
bk = (x-cx0) (C)
En rapportant dans (B) on trouve
abk = b(cy0 - y)
Soit
y = cy0 - ak
et de (C) on tire
x = cx0 + bk

En résumé les solutions de ax+by=c avec (a,b)=1 sont
x = cx0 + bk
y = cy0 - ak
Où k est un entier (le pour x et y) et (x0, y0) une solution particulière de ax+by=1

Analyse du puzzle

Le Gear Shift possède deux types de rotations: normal N, sans écarter et A, P, H, B, G, D en écartant le cube.

- Pour la rotation N quand on tourne un sommet les 7 autres tournent aussi: les gros sommets dans un sens et les petits sommets dans l'autre sens.

- Pour la rotation A, par exemple, on écarte le cube dans la direction Avant-Postérieur puis on tourne un sommet Avant les 3 autres sommets Avant tournent aussi, de même les gros sommets dans un sens, les petits dans l'autre sens

- Quand un gros sommet avance 2 crans par exemple, il peut le faire en plusieurs tours ! c'est à dire 8k+2 et le petit sommet reste invariant mais lui aussi il peut faire plusieurs tour 5m et on a la relation suivante: 8k + 2 = 5m

8k + 2 = 5m 5m + 1 = 8k

Numéroter les sommets

On numérote les sommets comme indique la fig ci-dessous


Pour le sommet 1, par exemple il peut être pivoté par N , H, G, et A de même pour le sommet 2 il peut être pivoté par N, H, G, et P mais dans l'autre sens... on a donc les relations suivantes:

N + H + G + A + a1= 8k1
-N - H - G - P - a2 = 5k2
N + H + D + P + a3 = 8k3
-N - H - D - A - a4 = 5k4
-N - B - G - A - a5 = 5k5
N + B + G + P + a6 = 8k6
-N - B - D - P - a7 = 5k7
N + B + D + A + a8 = 8k8

et sous la forme matricielle

V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7
Mais ces 7 vecteurs ne sont pas tous indépendants, en effet on a:
V1 = V5+V7 = V2+V6 = V4+V3
ou encore
V1 = V4+V3
V6 = V4+V3-V2
V7 = V4+V3-V5
Donc on peut enlever V1, V6,V7 et ne garde que V2,V3, V4,V5 on peut noter que la famille {V2,V3, V4,V5 } est libre



Retrouver la formule H-8G8A-8 = (HDA)1+

Le but de ce paragraphe c'est de retrouver cette formule, Supposons que le sommet 4 avance d'un cran, alors on a le système suivant:


On a:
G = 8k6
D = -5k7
D + A = 8k8
- H - D - A = 5k4+1

D'où
A = 8k8+5k7
et
H + 5k4 = - D - A - 1
H + 5k4 = -8k8 - 1
Une solution particulière sans seconde membre est: H=6, k4=-1 d'où les solutions sont
H = -48k8 - 6 + 5m
k4 = 8k8 + 1 - m

D'où les solutions du système sont (elles dépendent de 4 paramètres indépendantes)
G = 8k6
D = -5k7
A = 8k8+5k7
H = -48k8 - 6 + 5m

Si on prend
k6 = 1 => G = 8
k7 = 0 => D = 0
k8 = -1 => A = -8
m = -10 => H = -8
On retrouve la formule
(HDA)1+ = H-8G8A-8

Note : Si le sommet 4 recule d'un cran on trouvera: (HDA)1- = H8G-8A8


Retrouver la formule (HGA)2+ = H-5D5A-5

Le but de ce paragraphe c'est de retrouver cette formule, Supposons que le sommet 1 avance de 2 crans, alors on a le système suivant:


On a:
G = 8k6
D = -5k7
H + G = -5k2
H + G + A = 8k1-2

D'où
H + 5k2 = -8k6
Une solution particulière sans seconde membre est: H=6, k2=-1 d'où les solutions sont
H = -48k6 + 5m
k2 = 8k6 - m

De même pour
A - 8k1 = -2 + 40k6 - 5m
Une solution particulière sans seconde membre est: A=9, k1=1 d'où les solutions sont
A = -18 + 360k6 - 45m -8p
k1 = -2 + 40k6 - 5m -p

D'où les solutions du système sont (elles dépendent de 4 paramètres indépendantes)
G = 8k6
D = -5k7
H = -48k6 + 5m
A = -18 + 360k6 - 45m -8p

Si on prend
k6 = 0 => G = 0
k7 = -1 => D = 5
m = -1 => H = -5
p = 4 => A = -5
On retrouve la formule
(HGA)2+ = H-5D5A-5

Note : Si le sommet 1 recule de 2 crans on trouvera: (HGA)2- = H5D-5A5

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DMJ: 06/07/2015









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