L'algorithme [HD]X

31 Mar

Introdution ... Il y a plusieurs façons de résoudre le Rubik's Cube:

  1. On peut résoudre en basant sur la vitesse, c'est-à-dire on le résout de plus en plus vite peu importe le nombre de formules utiliser, peu importe la forme des formules, le but c'est finir la résolution le plus vite possible.
  2. On peut aussi le résoudre en fermant les yeux !!
  3. Ou encore en restreignant le nombre de rotations, par ex: on mélange le Cube avec les rotations H,D et on le résout uniquement avec H,D
Ici nous allons attaquer la résolution sous un autre angle, c'est aussi un nouveau défi bien étrange... On veut que la résolution utilise uniquement les formules de la forme [HD]X=X[HD]X' où X est une formule X∈M


Allons y ......


Analyse

* Les états du Cube forment un groupe G dans un truc comme ça
G ⊂ G+ = (S12 x Z212) x (S8 x Z38)
G est composé de 4 morceaux donc l'algorithme de résolution comporte 4 phases ou 4 étapes

* Le Rubik's Cube possède la loi de parité
sig(u)=sig(v) ; u=permutation des arêtes, v=permutation des sommets
donc il suffit d'étudier les états sig(u)=sig(v)=1, et on passe les états sig(u)=sig(v)=-1 par la simple rotation H

* sig(u)=1 signifie que la permutation u est pair, or les permutations paires sont engendrées par les 3-cycles, donc il suffit de trouver un 3-cycle particulier t et on aura tous les 3-cycles par les conjugués de t

Désormais on suppose que le Cube est en état localement pair sig(u)=sig(v)=1

Les égalités

Quelques égalités
  1. [HD] = I[HD]I'
  2. [HD]n = (I[HD]I') (I[HD]I') (I[HD]I')... ; n fois
  3. [HD]' = [HD]-1 = [HD]5 car [HD]6=I
  4. [HD]-2 = [HD]4
  5. X[HD]nX' = (X[HD]X') (X[HD]X') (X[HD]X')... ; n fois
  6. X(V[HD]V')(W[HD]W')X' = X(V[HD]V')X' . X(W[HD]W')X' = (XV)[HD](XV)' . (XW)[HD](XW)'

Placer les arêtes

Observons ce que fait le commutateur [HD], il agit sur le Cube comme une sorte de 'Z' c'est pourquoi nous le notons ζ=[HD]

ζ = [HD] [HD] = (HP)->(HD)->(AD)
[HD] agit sur les arêtes:
[HD] = (HP)->(HD)->(AD) c'est un 3-cycle-arête donc avec les conjugués de [HD], X[HD]X' on peut placer toutes les arêtes puisqu'on est en état localement pair.

Orienter les arêtes

Ici c'est le point le plus difficile. Au début j'ai utilisé [D'A] pour pivoter 2 arêtes, puis H'[HD]H pour remettre les pièces, mais là on a introduit le crochet [D'A] et je me demande s'il est possible de pivoter 2 arêtes avec le crochet [HD] ? j'ai mis beaucoups de temps à chercher, très déspèré et sur le point d'abordonner et hup d'un seul coup j'ai trouvé cette formule
A[HD]A'.(H'GA²)[HD]5(H'GA²)'=(HA)°(HD)°
qui est construite sur le même principe que [D'A]. H'[HD]H = (HA)°(AD)°
A[HD]A' => pivote 2 arêtes
(H'GA²)[HD]5(H'GA²)' => remet les pièces en place

A[HD]A'.(H'GA²)[HD]5(H'GA²)'=(HA)°(HD)°

Les sommets

Pour placer les sommets on a le 3-cycle ci-dessous
[HD]3.G'[HD]3G = (HPG)->(HAG)->(HPD)

Pour pivoter les sommets on a la formule suivante
[HD]2.G'[HD]-2G = (HPG)+(HAG)-

[HD]3.G'[HD]3G = (HPG)->(HAG)->(HPD) [HD]2.G'[HD]-2G = (HPG)+(HAG)-

L'algorithme [HD]X

Et voilà , nous avons notre algorithme exigé !!
  • On place les arêtes par [HD]
  • On pivote les arêtes par A[HD]A'.(H'GA²)[HD]5(H'GA²)'
  • On place les sommets par [HD]3.G'[HD]3G
  • Pour pivoter les sommets on utilise [HD]2.G'[HD]4G

C'est vraiment étonnant qu'on peut remonter le Cube seulemnt avec H, [HD] (sous entendu bien sûr avec les conjugués de [HD], car [HD] agit sur les emplacements fixes, ses conjugués permettent de varier les emplacements)

Commentaire

C'est extraordinaire, celà signifie que pour toute formule F on peut la décomposer en produit des conjugués de [HD] !!



Le coefficient est là pour dire quand on est en état localement impair sig(u)=-1 on fait un H avant d'appliquer l'algorithme

[HD] joue le rôle des nombres premiers dans les nombres entiers : tout entier est décomposable en produit des nombres premiers

On pourrait aussi dire qu' à partir de l'état résolu r , pour arriver à l'état s il y a toujours un chemin plus "propre", plus "joli" ou plus "sécurisé" que le chemin F



[1]

Accueil

DMJ: 26/03/2016







Facile

Moyen

Difficile

Les Crazy

Les Stars

Divers

Théorie des Twists

Quiz (Master Cube)