Le nombre de permutations du cube n3

5 Mar

Cube type n3 Dans cet article nous allons calculer le nombre de permutations pour un Rubik's Cube de dimension n, cad un cube du type n x n x n.


Observation

Ce qui est important c'est de savoir combient type de pièces dans ce genre de puzzle, et que dans chaque type il y a combient de familles ? (de clans). Pour simplifier le calcul on va distinguer 2 cas suivant n est pair ou impair.

Cas impair: n = 2k + 1

Pour fixer les idées on va choisir n = 9
Observons bien, il y a plusieurs type de pièces dans ce puzzle, et pour chaque type il y a plusieurs familles (clans, orbites,...)


Les sommets :
Il y a 8 sommets (une seule famille), et qui peuvent balader partout donc
8 ---> 8!
et chaque sommet a 3 orientations ---> 38
une contrainte sur l'orientation ∑ si = 0 (mod 3) ---> /3
finalement ---> 8! 37

Les arêtess :
Il y a 12 arêtess (une seule famille), et qui peuvent balader partout donc
12 ---> 12!
et chaqu'arête a 2 orientations ---> 212
une contrainte sur l'orientation ∑ ai = 0 (mod 2) ---> /2
et encore une contrainte sur les sommets et les arêtes: ils doivent être "en phase" sig(a) = sig(s) ---> /2
finalement ---> 12! 210

Les ailes :
Il y a plusieurs familles d' ailes, en effet les ailes en position 1 ne peuvent pas aller en position 2, toutes les ailes en position 1 de chaque face forment ainsi une famille (un clan, une orbite,...) . Il y a plus précisement k-1 familles d'ailes
dans chaque famille il y a évidament 24 ailes (4 par faces et on a 6 faces), ces ailes peuvent balader partout donc: 24 ---> 24!
finalement ---> (24!)k-1

Les centres :
Il y a plusieurs familles de centres (même raisonnement comme dans les ailes) , le calcul du nombre de familles est assez simple: On somme les nombres 2+4+6, ..... à une longeur (k-1) (voir fig), donc
2+4+6+ ... (longeur k-1)
2+4+6 ... +2(k-1)
2(1+2+3 ...+(k-1))
2.k(k-1)/2
k(k-1) familles de centres

Dans chaque famille il y a 24 centres (4 par faces et on a 6 faces) 24 ---> 24! mais parmi ces 24! configurations il y a beaucoup qui sont les même, voyons de plus prés.
Fixons nos yeux sur la famille 3, et sur la face disons jaune, un centre-jaune peut tourner autour de la pièce-centrale (le vrai centre du puzzle) 4 ---> 4! . Autrement dit sur la face jaune n'importe quel centre-jaune de la famille 3 se place en position3, on ne voit pas la différence, donc se sont les même configurations (pour une face) et comme il y a 6 faces ca donne
6 faces ---> (4!)6
Autrement dit , prenons une configuration parmi les 24! on a (4!)6 les même , donc les états distingues sont:
état distingues ---> 24!/4!6
finalement ---> (24!/4!6) k(k-1)

ce qui donne:



Cas pair: n = 2k

Pour fixer les idées on va choisir n = 8
Observons bien, il y a plusieurs type de pièces dans ce puzzle, et pour chaque type il y a plusieurs familles (clans, orbites,...)


Les sommets :
Il y a 8 sommets (une seule famille), et qui peuvent balader partout donc
8 ---> 8!
et chaque sommet a 3 orientations ---> 38
une contrainte sur l'orientation ∑ si = 0 (mod 3) ---> /3
finalement ---> 8! 37

Les ailes :
Il y a plusieurs familles d' ailes, en effet les ailes en position 1 ne peuvent pas aller en position 2, toutes les ailes en position 1 de chaque face forment ainsi une famille (un clan, une orbite,...) . Il y a plus précisement k-1 familles d'ailes
dans chaque famille il y a évidament 24 ailes (4 par faces et on a 6 faces), ces ailes peuvent balader partout donc: 24 ---> 24!
finalement ---> (24!)k-1

Les centres :
Il y a plusieurs familles de centres (même raisonnement comme dans les ailes) , le calcul du nombre de familles est assez simple: On somme les nombres 1+3+5, ..... à une longeur (k-1) (voir fig), donc
1+3+5+ ... (longeur k-1)
(k-1)² familles de centres

Dans chaque famille il y a 24 centres (4 par faces et on a 6 faces) 24 ---> 24! mais parmi ces 24! configurations il y a beaucoup qui sont les même, voyons de plus prés.
Fixons nos yeux sur la famille 3, et sur la face disons jaune, un centre-jaune peut tourner autour de la pièce-centrale (le vrai centre du puzzle) 4 ---> 4! . Autrement dit sur la face jaune n'importe quel centre-jaune de la famille 3 se place en position3, on ne voit pas la différence, donc se sont les même configurations (pour une face) et comme il y a 6 faces ca donne
6 faces ---> (4!)6
Autrement dit , prenons une configuration parmi les 24! on a (4!)6 les même , donc les états distingues sont:
état distingues ---> 24!/4!6
finalement ---> (24!/4!6) (k-1)²

ce qui donne:



Ce qui est étonnant c'est que dans le cas pair, il n'y a plus d'arêtes !! , il n'y a que des ailes !

En résume: Voici le nombre de permutations pour un Rubik's Cube de dimension n:


1 [2] 3 4 5 6

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DMJ: 06/07/2015







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