Cube fixe, Cube mobile ?

15 Feb 2017

Préface Parfois on entend dire que:
- Le nombre 43252003274489856000 de configurations du Rubik's Cube n'est pas bon !! on a compté plusieurs fois la même configuration et donc il faut le diviser par 24 car le Cube a 24 symétries!!
- Ou encore ce nombre n'est pas tout à fait correct !! car on a compté plusieurs fois la même configuration, le nombre correct est 901083404981813616, c'est le nombre de configurations distigues du Rubik's Cube ???

Alors où est la vérité ?


Cube fixe, Cube mobile

Avant de lancer dans la discution, on doit distinguer un cube fixe et un cube mobile !!

Cube fixe
Posez votre Rubik's Cube sur une table, une face devant vous... Là vous avez le Haut, le Bas, l'Avant, le Postérieur, la Gauche, la Droite c'est comme votre chambre, il y a le plafond , le plancher... on dit on a orienté le cube. Votre cube est fixe, pour un cube fixe on ne peut pas le bouger, le Haut ne peut pas devenir le Bas , exactement comme votre chambre le plafond ne peut pas devenir le plancher !!
Cube fixe

Cube mobile
Tenez votre Rubik's Cube dans la main, il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ... pour vous c'est simplement un cube à 6 couleurs. Votre cube est mobile, pour un cube mobile on peut le bouger (mais pas n'importe comment!),
Cube mobile (=tenir dans la main)


Formule de Burnside

Rappelle sur la formule de Burnside.
Soient G un groupe fini et X un ensemble fini, G agit sur X (on passe un élément de X à un autre par un élément de G)
On pose Fg = { x ∈X / x•g=x } l'ensemble des points fixes de g , Fg ⊂ X

Lemme de Burnside
w = 1/|G| . ∑g∈G |Fg|
où w = le nombre d'orbites
C'est la somme des points fixes quand g parcourt G

Analyser le problème

A)- Le nombre |G| = 43252003274489856000 c'est le nombre de configurations d'un Rubik's Cube fixe !!! l'étude du Rubik c'est l'étude d'un cube fixe ! rien à voir avec l'étude d'un cube mobile.

|G| est le cardinal du groupe du Rubik's Cube fixe, un cube qui possède un Haut un Bas .....
Certains disent qu'il faut le diviser par 24 -|G|/24- pour avoir le nombre de configurations parce que le cube a 24 symétries, mais ce n'est pas exact.

En effet
Si on désigne K le groupe de déplacements du cube (il a 24 éléménts) et G l'ensemble des états
w = 1/|K| . ∑g |Fg|
=> ∑g |Fg| c'est la somme des points fixes des g (quand g parcourt K) est non pas |G| !! ==> w = |G|/|K| erreur
=> w c'est le nombre d'orbites ==> donc c'est en rapport avec un cube mobile

B)- Le nombre 901083404981813616 est en réalité c'est le nombre d'orbites d'un cube mobile !!
On prend un Rubik's Cube, et soient X=l'ensembles des configurations, G=l'ensemble des rotations, (les déplacements) du cube. on étudie les orbites de G. Donc c'est 2 études différentes.
Mais laquelle est intéressante ? évidemment c'est l'étude du cube fixe qui est intéressante, car l'ensemble des états forme un groupe, tandis que les orbites ne forment pas un groupe, il n'existe même pas une loi de composition sur les orbites !!!

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DMJ: 15/02/2017









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