Les groupes d'homotopie du Square-1

28 Dec 2016

Introduction La légende racontre que le Square-1 possède une serie de groupes assez étranges, et je n'ai aucune idée de ce que ce sont ces groupes, jusqu'à récemment je les ai redécouverts tout à fait par hasard en bricollant sur un Square-1

Je voudrais en fait faire un MOD à partir de Square-1, et pourquoi pas sa forme "Papillon" (Butterfly) ?

Un simple MOD

J'ai donc transformé (un MOD) un Square-1 en forme Papillon (fig 1) , c'est jolie et c'est assez simple à le faire , il suffit de couper l'équateur en forme de Papillon et cacher les trous c'est tout. Une fois le MOD est réalisé, une simple question se pose immédiatement: Comment le résout-on ?
Faudrait-il trouver de nouvelles formules qui déplacent les pièces en conservant la forme Papillon ?, comme pour la forme "Cube" -Les formules de résolution conservent la forme cubique du puzzle-

fig 1


Une petite réflexion et la réponse est prèsqu'immédiate, à partir de la forme Papillon on passe à la forme cubique, on le résout en respectant les couleurs de Papillon , puis on revient à la forme Papillon
Papillon (-3B/3+3B/-3) => Cube => résoudre => Cube (3/-3-3B/3B) => Papillon

On voit donc les nouvelles formules pour Papillon sont des conjugaisons de formules cubiques.

cµ : Etat résolu du Papillon /3+3B/-3


Les Groupes d'homotopie du Square-1

Chaqu'un sait que pour résoudre le Square-1 on doit passer par sa forme "Cube", et la résolution démarre donc par la forme cubique du puzzle. Si on impose le Haut ayant 4 sommets et 4 arêtes (comme la forme Cube) on trouve 10 formes suivantes (même chose pour le Bas) que l'on nomme les 10 formes homotopes du Square-1
10 formes pour le Haut

Rappel : Soient H et K deux sous groupes de G, on dit que H et K sont conjugués si:
∃q ∈ G tel que qHq-1 = K
autrement dit
∃q ∈ G tel que ∀x∈H , qxq-1 ∈ K

On considère maintenant les mouvements ℘ du twist qui conservent la forme Papillon et pairs. L'ensemble des états produits par ℘ (gènérés par ℘), forme un groupe c'est le groupe Papillon du Square-1 ou le 3ème groupe d'homotopie et on le note H3. Le groupe Cubique du Square-1 est le groupe 1er groupe d'homotopie, H1.
et si on pose Q = 3/-3-3B/3B et q la permutation associée à Q , alors on a la relation suivante:
H3 = qH1q-1

En effet , on part d'un état de Papillon µ, on passe à l'état cubique c1 par la formule Q, puis on résout le cube par des formules T1,T2,T3, ...
quand on arrive à l'état cubique cµ, là on passe à la forme Papillon par Q' et on tombe sur l'état résolu de Papillon.
on a donc:
t1t2t3... = t où t ∈ H1
k = qtq-1 et k ∈ H3

c'est à dire ces 2 groupes sont conjugués (dans S24) , donc on passe d'un élément de H1 à un élément de H3 par la conjugaison , par exemple:
Si t est un état de H1 l'état correspondante dans H3 est
qtq-1

On pourrait faire la même chose sur les autres formes homotopes du Square-1 on trouve donc ainsi 10 groupes d'homotopie correspondant aux 10 formes homotopes du Square-1: Cube, Flèche, Papillon, Coquille, Bouclier, etc.... Ils sont tous conjugués entre eux.

Papillon Coquille


1 [2]

Accueil

DMJ: 28/12/2016









Facile

Moyen

Difficile

Les Crazy

Les Stars

Divers

Théorie des Twists

Quiz (Master Cube)