Formule, Etat

16 Jan

Introduction ... Il est vraiment important de distinguer deux choses: formule (rotation, mouvement, manoeuvre, mélange, ...) et état (motif, configuration, ...)

- Une formule transforme un état en un autre état.
- Un état est un élément qui décrit le Cube


Action, Opèrer, Agir....

Voyons qu'est qu'on a dans la main ?

- D'un côté, on a un ensemble de formules M formé par des rotations de base {H,B,A,P,G,D}, et deux formules considérées comme identiques si elles donnent le même état.
- De l'autre côté, un ensemble d'états G qui décrit le Cube.
- On selecte l'état "résolu" (une couleur par face) e .

Et voilà les données.

Comme nous avons déjà dit, une formule transforme un état en un autre, commençons donc par le commencement ... à partir de l'état résolu e on fait une rotation A - par exemple -, le Cube se trouve donc en un autre état, au lieu de faire la rotation A , on peut faire avec n'importe quel formule par exemple [HD], ... Donc, soit U une formule quelconque , on applique U sur e et on se trouve sur un autre état s, qu'on va noter:
e•U = s (lire: on applique U à e)

On voit bien maintenant la différence entre U et s .

Cette oppération '•' possède 2 propriétés:
1. x•I = x (I=formule Identique, x=état) ==> On ne fait rien, donc rien ne change !!!!
2. (x•U)•V = x•(UV) où U, V sont des formules

On dit que M (formule) agit (opère, ...) sur G (état)

Formule, Etat

Il y a une bijection entre M et G , voyons ...
Soit
f: M -> G
U -> f(U) = e•U
Le but est donc de montrer que f est bijective.

1. f est injective
f(U) = f(V)
e•U = e•V
(e•U)•V' = (e•V)•V'
e•(UV') = e•(VV') propriété 2
e•(UV') = e•I
e•(UV') = e propriété 1
La seule formule I donne l'état e, donc UV' = I d'où
U=V

f est donc injective

2. f est surjective
On prend donc un élément de G , et il faut trouver une formule dont il provient
e=(u,x,v,y)∈G et on a:
1. ∑ xi = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,...,x12)
2. ∑ yi = 0 (mod 3) avec y = (y1,y2,...,y8)
3. sig(u)=sig(v)

La preuvre est constructive, càd on construit petit à petit la formule
On va faire ça en plusieurs étapes.
On coupe (u,x,v,y) en deux morceaux (u,x,v,y) = (1,x,1,y)(u,0,v,0)

Cas 1: (u,0,v,0)
L'état (u,0,v,0) signifie que les sommets et les arêtes sont mal placés mais bien orientés.
Soient les 3 formules suivantes:
F1 = D².H'D'H'.(DH)².DH'D => déplacer 3 arêtes sans toucher les autres pièces, un 3-cycle
F2 = [HD]G'[DH]G => déplacer 3 sommets sans toucher les autres pièces, un 3-cycle
F3 = [D'H²]D'AD. HD'H'D'.A'D²H' => permuter un couple d'arêtes et un couple de sommets sans toucher les autres pièces, (a1,a2)(s1,s2)

- Si sig(u)=sig(v)=1
On utilise F1 (et la conjugaison) , pour placer les arêtes, c'est possible car F1 est un 3-cycle , et que A12 (sig(u)=1 pair) est engendré par les 3-cycle
même chose pour les sommets on utilise F2 (et la conjugaison) , pour placer les sommets.
- Si sig(u)=sig(v)= -1
On utilise F3 (et la conjugaison), on revient alors au cas précédent

Cas 2: (1,x,1,y)
L'état (1,x,1,y) signifie que les sommets et les arêtes sont bien placés mais pas orientés.
Soient 2 formules suivantes:
F4 = AH²A² .B' [H'G' ]B .A²H' A' H' => pivoter 2 arêtes sans toucher les autres pièces
F5 = [HD]²G'[DH]²G => pivoter 2 sommets sans toucher les autres pièces
On utilise F4 (et la conjugaison) , pour pivoter les arêtes, une par une la dernière sera automatiquement bien orientée à cause de x=0 (mod 2)
On utilise F5 (et la conjugaison) , pour pivoter les sommets, un par un le dernier sera automatiquement bien orienté à cause de y=0 (mod 3)

Finalement pour trouver une formule pour l'état (u,x,v,y) on fait simplement
- Utiliser les formules F1,F2,F3 pour placer les arêtes et les sommets ==> (u,0,v,0) ; on peut perturber les orientations des arêtes et des sommets mais peu importe car on les orientera plus tard.
- Utiliser la formule F4,F5 pour orienter les arêtes et les sommets ==> (1,x,1,y)
Donc l'état (u,x,v,y) = (1,x,1,y)(u,0,v,0) correspond bien à une formule.

f est surjective.

Finalement on a une bijection entre M et G. On peut même démontrer que M et G sont isomorphes.
Une formule <=> un état , une formule gènère un état et un seul, un état provient d'une formule unique .

Commentaire

Il y a beaucoup de gens qui pensent qu'il existe plusieurs formules pour un seul état ...
par exemple:
(H²D²)3(B²D²)3 qui permute les arêtes: état s = (HA)<->(HP) et (HB)<->(BP)
(H²G²)3(B²G²)3 qui permute les arêtes: état s = (HA)<->(HP) et (HB)<->(BP)

Ou encore, à l'état résolu e:
A4 ==> état résolu e
[HD]6 ==> état résolu e
I ==> état résolu e

Comme on dit qu'elles sont toutes identiques, il faut alors dire: il y a une seule formule pour un état mais il y a des différentes façons d'écrire la formule.
(H²D²)3(B²D²)3 = (H²G²)3(B²G²)3
D'=D3
De même à l'état résolu e:
il y a une seule formule pour l'état e mais il y a plusieurs l'écriture de cette formule
A4 = [HD]6 = I

C'est exactement quand vous écrivez:
* 1/2 = 0,5 = 3/6
l'inverse de 2 est unique mais il y a plusieurs l'écriture
ou encore
permutation identique id
* id = (a) = (b)
la permutation identique id est unique , mais il y a plusieurs l'écriture
de même soit p un 3-cycle
* p = (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
la permutation p est unique , mais il y a plusieurs l'écriture

Résumons


- Bien que M et G soient isomorphes mais ils sont très différents, leur rôle est différent , un éléments de M possède plusieurs l'écriture, pas pour G . M agit sur G et non à l'inverse, et M agit sur X mais pas G
- Beaucoup de gens pensent que M c'est le groupe du Rubik's Cube, c'est-à-dire l'ensemble des mouvements est le groupe du Rubik's Cube. MAIS NON !! (M,.) agit (opère) sur G, ou sur les étiquettes X={1,2,3,...,48} c'est tout !! , mais on peut dire |M| = |G|

- Beaucoup de gens pensent que la rotation A par exemple fait bouger les sommets (parce que visuellement c'est ça). MAIS NON !!! la rotation A "ordonne", à la permutation de bouger les sommets, c'est la permutation qui bouge les sommets (elle exécute l'orde de A). Mais pourquoi ça ? c'est simple c'est dans l'écriture de la permutation !!!
Nommons les sommets par exemple a, b, c quand on écrit:
p = (a,b,c) c'est bien
p(a)=b, p(b)=c et p(c)=a ==> p déplace a en b , etc ...
mais jamais
A(a)=b, A(b)=c et A(c)=a !!!
On voit donc bien que p bouge a en b - p(a)=b -

Voici ce qu'il faut retenir:
La rotation A∈M agit sur les étiquettes, crée donc une permutation p∈Sx des étiquettes, cette permutation p peut être "coupée" ou se transforme en 4 morceaux (u,x,v,y)∈G ces 4 morceaux forme ce qu'on appelle un état du Cube, et l'ensemble de ces états muni d'une loi assez compliquée forme un groupe G ce qu'on appelle le groupe du Rubik's Cube.

Opérations sur les formules.

Avec les formules, quelles sont les opérations qu'on peut faire sur les formules ?, Eh bien on peut faire 3 opérations
Soit F est une formule
O1 Inverse: F'
O2 Puissance: Fn = FFFF .... ; n fois
O3 Conjugaison: FX = XFX' ; où X est une formule, XFX' se nomme un conjugué de F ((FX)Y = FYX)

Un algorithme de résolution d'entrée K est une suite d'instructions (d'actions) en lignes L0, L1, L2, ... où
  1. Chaque ligne une seule action: Soit placer soit pivoter
  2. Chaque ligne utilise des formules dans K et deux opérations: l'inverse ou la puissance
Autrement dit à chaqu'étape de la résolution on utilise les produits des conjugués des éléments de K
(XTX')(YQY')'(WLW')... où T,Q,L dans K et X,Y,W formules

Posons-nous la question suivante: Combien de formules qu'utilise un algorithme ?
Donc il est raisonnable de dire que le nombre de formules qu'utilise l'algorithme c'est le nombre de formules dans l'entrée pour faire fonctionner l'algorithme.

Rappel: 0 signifie "pas besoin de formules, c'est intuitif"

Exemples
T=[DG'], Q=[GD']
Soient 4 équations:
ΔV = 0 ; placer des sommets, c'est intuitif, pas besoin de formules
ΔC = T² ; placer des centres avec T²
V° = T3 Q3 ; pivoter les sommets
Algo A associé: entrées T=[DG'], Q=[GD']
Algo A utilise 2 formules

θ=A[HD]A'.H' , ζ=[HD]
ΔV =θ
ΔE = ζ²
E° = θ²
V° = θ4
Algo B associé à ces 4 équations: entrées θ , ζ
Algo B utilise 2 formules

Si localement impair alors H
Sinon ΔE = P²H'G'D.P²GD'H'.P²
E° = AH²A² .B' [H' G' ]B. A²H' A' H'
ΔV = D² .P²DAD'. P²DA' D
V° = HAB'A²H .G²H'G². AH'A²BA²
Algo C associé à ces 4 équations: 5 entrées
Algo C utilise 5 formules

θ=A[HD]A'.H' , ζ=[HD], G
ΔE = θ
E° = θ²
ΔV = ζ.G'ζ'G
V° = θ4
Algo D associé à ces 4 équations: entrées θ , ζ, G
Algo D utilise 3 formules


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DMJ: 24/02/2017









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