L'étude théorique du Square-1

29 Jan 2017

Introduction Apès quelques résolutions du Square-1, on tombe sur un phénomène nommé "Problème de parité" c'est à dire il y a 2 arêtes ou 2 sommets à échanger.
En soi rien d'intrigant, car ce genre de problème arrive très souvent sur les autres cubes comme le Revenge, Void Cube, Barrel etc ... donc à première vue rien de spécial comme phénomène.

Certain problème de parité s'explique assez bien comme chez le Void Cube, Revenge, Barrel ... Mais pour le Square-1 c'est assez mystérieux ... Il n'est pas facile d'expliquer la cause de cette parité ....
Puis récemment la sortie de l'Helicopter, il a la même "construction" que le Square-1 mais plus facile à comprendre, grâce à lui on comprends beaucoup mieux la parité du Square-1.

Observation

Voyons ce qui peut arriver à notre Square-1, on mélange le cube, et arrive à ces deux formes ci-dessous

forme 1: Roue forme 2: Oeil

Supposons que les états 1 et 2 sont pairs, s'il sont impairs le raisonnement sera le même.
A partir de la forme 1, si on tourne le Bas 2B, les arêtes ne bougent pas mais les sommets a fait un 6-cycle donc une permutation impaire pour les sommets et une permutation paire pour les arêtes, les arêtes et les sommets ne sont plus en phases, le cube est en état impair, c'est un état légal du twist.

De même , à partir de la forme 2 si on fait une rotation 180° le Haut, pour les arêtes on a 4 couples à changer donc la permutation est paire, par contre pour les sommets on a un seul couple à changer donc la permutation des sommets est impaire, les sommets et les arêtes ne sont plus en phase donc l'état du cube est impair c'est aussi un état l'égal du cube

Observons maintenant les 2 états du cube ci-dessous

fig 1 fig 2

Pourquoi parlons nous de "problème" (fig 2) , alors que le Square-1 peut avoir un état pair ou impair , en fin de compte l'état du cube est, comme il est, c'est tout, pourquoi c'est un problème en quoi l'état fig 2 est un problème ?

En effet, pour dire que l'état 2 est un problème il faut que:
  1. Le Square-1 possède la loi des phases sig(arêtes)=sig(sommets)
Or premièrement je ne trouve nulle part (même sur la Toile) où l'on parle de la loi des phases pour le Square-1
Deuxièment on ne voit pas du tout à quel moment on viole la loi ....

Les mouvements du Square-1

Voyons les mouvements du Square-1
Voici les rotations du cube: 1=Haut, B=Bas, /=Slash (moitié-Droite à 180°), ℘ = {1,B,/}
Soit M l'ensemble des mouvements "possibles" du cube, autrement dit un élément de M est une suite "possible" finie de ces 3 symboles du genre 1-B/3+3B/-2/, /3/-3-3B/, etc ... mais pas 1-B/-1/ ; (impossible)
M ⊂ < 1,B,/ >
Parmi les mouvements de M , il y a des mouvements qui conservent la forme cubique du twist, c'est-à-dire on part de la forme cubique et on arrive à la forme cubique comme par ex 1/-1-B/B , mais '/' n'est pas un mouvement conservant la forme cubique.
Soient K l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique, et Kpair l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique et pairs (associé à une parmutation paire)

Le but de ce paragraphe c'est de montrer que Kpair est engendré par un certains nombre de "rotations", c'est à dire Kpair est de la forme
Kpair = < C > où C est un ensemble fini de rotations

On va noter K+ l'ensemble des mouvements étendus conservant la forme cubique, c'est-à-dire K+ est composé de:
1. Les mouvements qui conservent la forme cubique du twist: les éléments de M
2. Démonter le cube (à partir de la forme cubique), mélanger, puis remonter en forme cubique

Résummons
  1. M = l'ensemble des mouvements (possible) du twist
  2. K = l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique
  3. K+ = l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique étendus

Considèrons maintenant les 4 formules suivantes:
S=1/3/-1 Q=1/3B/-1
R=-B/3/B T=-B/3B/B

Par définition, les formules {3, 3B, S, Q, R, T} seront nommés "rotation cubique" du twist , c'est simplement une appellation . Soit C l'ensemble des mouvements engendrés par ces 6 rotations cubiques
C = < 3, 3B, S, Q, R, T >

exemple des éléments de C:
-S = 1/-3/-1 (lire à l'envers et "+" <=> "-")
S+S = 2S = (1/3/-1) + (1/3/-1) = 1/3/+/3/-1 = 1/6/-1
-Q = 1/-3B/-1
2R = B/6/-B
etc...

Remarque : Un mouvement de C conserve la forme cubique du twist donc C ⊂ K , mais il existe bien sûr des mouvements qui conservent la forme cubique du twist (un élémént de K) mais ils ne sont pas dans C, par ex
µ = (/-3-3B/2+B/) + (-2+2B/2-2B) + (/-2-B/3+3B/) (impair) , pour la simple raison que les éléments de C ont une permutation paire alors que µ a une permutation impaire
Rappel: Une formule, un mouvement, un mélange, .... est pair si la permutation associée est paire , impaire sinon.

Finalement on a:
  1. M = l'ensemble des mouvements du twist
  2. K = l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique
  3. K+ = l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique étendus
  4. C = l'ensemble des mouvements cubiques
  5. C+ = l'ensemble des mouvements cubique étendus

Les mouvements du Square-1

Attention !! Un mouvement qui conserve la forme cubique n'est pas forcement un mouvement cubique !

On dit que K+ est l'extension de K (ou l'étendu de K)

Le groupe (cubique) du Square-1

Un mouvement gènère un état c'est-à-dire une permutation et une orientation mais ici on a seulement la permutation (pas d'orientation). Considèrons donc G+ l'ensemble des états produits par C+ (gènérés par C+) Comme un état se réduit à une permutation donc les éléments de G+ sont des permutations.

Il y a 8 arêtes qui peuvent déplacer partout, on a donc l'affaire avec S8, de même pour les sommets, finalement G+ = S8 x S8

Considèrons maintenant G l'ensemble des états produits par C (gènérés par C) c'est par définition le groupe (cubique) du Square-1. Comme un état se réduit à une permutation donc les éléments de G sont des permutations.

et G est contenu dans S8 x S8
G ⊂ G+ = S8 x S8
Comme les arêtes et les sommets ne s'entremèlent pas; G est composé de deux trucs indépendants:
G = Ga x Gs , Ga = arêtes et Gs = sommets
Donc un mouvement gènère deux permutations: une pour les arêtes u, et l'autre pour les sommets v, le couple (u,v) est un élément de G , u ∈ Ga, v ∈ Gs Nous allons montrer que le Square-1 possède une loi, la loi de "parité", plus précisement la loi des phases.

NOTE : G+ est l'extension de G (le groupe étendu de G), G+ = S8 x S8, G ⊂ G+

D'un côté on a les muovements
  1. M = l'ensemble des mouvements
  2. M+ = l'ensemble des mouvements étendus
  3. K = l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique
  4. K+ = l'ensemble des mouvements conservant la forme cubique étendus
  5. C = l'ensemble des mouvements cubiques
  6. C+ = l'ensemble des mouvements cubiques étendus

De l'autre côté on a les permutations
  1. I ⊂ S24 (I provient de M)
  2. J ⊂ I (J provient de K)
  3. G+ = l'extension de G (le groupe étendu de G) (provient de C+ )
  4. G = le groupe (cubique) du Square-1 (provient de C)
Il faut absolument faire la distinction entre C et G , C = mouvements = formules = mélanges et G = états


A8 x A8 ⊂ G

On commence par s'occuper les arêtes, pour les sommets c'est pareil

A1. Trouver un 3-cycle dans Ga (arêtes) .
Les arêtes numérotées U = (1/-3B/-1)+/3/+(1/3B/-1)+/-3/

U gènère une permutation u dans Ga avec u = (x1,x2,x3), comme les sommets ne bougent pas on a v=1=id (identité)

A2. Trouver une famille particulière de permutations de Ga

On veut trouver une famille particulière (x3,x, ... ) de permutations de Ga qui laissent fixe x1,x2 et x est une arête différente de x1,x2,x3 , ces permutations peuvent bouger les autres pièces

Ce n'est pas bien compliqué , il sufit de prendre les kT combiné avec 3B on aura tout ce qui faut !!!
Par exemple T = -B/3B/B qui donne comme permutation sur les arêtes t=(x3,x4,...) et laisse x1,x2 fixes
et de même 2T ==> une permutation t²=(x3,x5,...) et x1,x2 fixes ainsi on peut donc (avec 3B) remplacer l'arête x3 par toutes les autres.

A3. Trouver une famille (x1,x2,x) de Ga
On veut trouver une famille de permutations de Ga du type (x1,x2,x) où x1,x2 sont données et x est une arête différente de x1,x2 . Ici on va utiliser une propriété très connnue des permutations

Propriété : Soient p une permutation et (a,b,c) un 3-cycle alors on a:
p(a,b,c)p-1 = ( p(a), p(b), p(c) )

Nous allons donc appliquer cette propriété dans notre cas.
tut-1 = t(x1,x2,x3)t-1 = ( t(x1),t(x2),t(x3) )= ( x1,x2,x4 )
t²(x1,x2,x3)t-2 = ( t²(x1),t²(x2),t²(x3) )= ( x1,x2,x5 )
....
Ainsi la famille (x1,x2, x) où x1,x2 sont données, représente des 3-cycles dans Ga
Or on sait que cette famille engendre A8 donc A8 ⊂ Ga

On fait la même chose avec les sommets.

B1. Trouver un 3-cycle dans Gs (sommets).

Les sommets numérotés V = (1/3B/2/)+(-3/-2/-3B/)+(2/3/-3)

V gènère une permutation v = (y1,y2,y3) dans Gs et u=1=id les arêtes ne bougent pas

B2. Trouver une famille particulière de permutations de Gs

On veut trouver une famille particulière (y3,y, ... ) de permutations de Gs qui laissent fixe y1,y2 et y est un sommet différent de y1,y2,y3 , ces permutations peuvent bouger les autres pièces

On prend les kS combiné avec 3B on aura tout ce qui faut !!!
Par exemple S=1/3/-1 qui donne comme permutation sur les sommets s=(y3,y4,...) et laisse y1,y2 fixes
et de même 2S ==> s²=(y3,y7,...) et y1,y2 fixes ainsi (avec 3B) on peut remplacer le sommet y3 par toutes les autres.

B3. Trouver une famille (y1,y2,y) de Gs

On veut trouver une famille de permutations de Gs du type (y1,y2,y) où y1,y2 sont donnés et y est un sommet différent de y1,y2
svs-1 = s(y1,y2,y3)s-1 = (y1,y2,y4 )
s²(y1,y2,y3)s-2 = (y1,y2,y7 )
....
Ainsi la famille (y1,y2, y) où y1,y2 sont donnés représente des 3-cycles dans Gs
Or on sait que cette famille engendre A8 donc A8 ⊂ Gs

En résumé:
A8 ⊂ Ga
A8 ⊂ Gs
A8 x A8 ⊂ Ga x Gs = G

G ⊂ Ker(f)

Soit f défini par:
f : S8 x S8 -> {1,-1}
(u,v) -> f(u,v) = sig(u).sig(v)
Ker(f) = { (u,v)/ sig(u).sig(v) = 1 }

Les formules: {3, 3B, S, Q, R, T} gènèrent toutes des permutations impaires pour des arêtes ainsi que pour des sommets , donc sig(u).sig(v) = (-1).(-1) = 1 donc elles sont toutes dans le Ker(f), par conséquence G aussi
G ⊂ Ker(f)
finalement
A8 x A8 ⊂ G ⊂ Ker(f)

Rappel sur les indices:
K ⊂ H ⊂ G
[G:K] = [G:H][H:K]
[GxG':HxH'] = [G:H][G':H']

A8 x A8 ⊂ G ⊂ Ker(f) ⊂ S8 x S8
[S8 x S8:A8 x A8]=[S8 x S8:Ker(f)][Ker(f):A8 x A8]
[S8:A8] x [S8:A8]=[S8 x S8:Ker(f)][Ker(f):A8 x A8]
2 x 2 = 2 x [Ker(f):A8 x A8]
2 = [Ker(f):A8 x A8]

Mais entre A8 x A8 et Ker(f) il n'y a rien parce que l'indice de [Ker(f):A8 x A8] vaut 2
donc on a:
- soit: G = A8 x A8
- soit: G = Ker(f)
Comme S engendre 2 permutations u (pour les arêtes), v (pour les sommets) impaires,
(u,v) ∉ A8 x A8 => G ≠ A8 x A8 donc G = Ker(f)
Ca signifie sig(u).sig(v)=1 c'est à dire u pair ==> v pair , u impair ==> v impair
La loi des phases (les sommets et les arêtes sont en phases) est ainsi démontrée...

Finalement: G = { (u,v)∈S8xS8/ sig(u).sig(v) = 1 }

Remarque: on a: (S8 x S8) / Ker(f) = Im(f) donc
|S8 x S8| / |Ker(f)| = [Im(f)|
|Ker(f)| = |S8 x S8| / [Im(f)|
|G| = 8! x 8! / 2
|G| = 812 851 200

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/index.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP
C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin
C:\gap4r7\bin>gap
gap>
Ici on colle le text gap_sqr.txt

gap_sqr.txt:
pS := (7,11,9,5)(6,12,10,4) ;
pQ := (13,1,3,15)(14,8,2,16) ;
pR := (7,11,9,5)(8,10,16,6) ;
pT := (1,3,15,13)(2,4,14,12) ;
pttr := (1,3,5,7)(2,4,6,8) ;
pttrB := (9,15,13,11)(10,16,14,12) ;
squa := Group( pS, pQ, pR, pT, pttr, pttrB );
taillesqua := Size( squa );

Le GAP nous donne bien le |G| = 812 851 200


Problème de parité

Pour comprendre la parité du Square-1, observons la parité de l'Helicopter Cube.

Parité d'Helicopter Parité du Square-1

Le problème de parité d'Helicopter s'explique assez bien:
On a un ensemble de rotations standard (de base) : {A,D,G,P, ...} et un ensemble de rotations non-standard, rotations-jumbling, rotations cachées ...{Aµ,Dµ, ... } où µ=60° . Lorsqu'on mélange l'Helicopter avec les rotations non-standard , il peut arriver d'avoir une "parité", donc la cause du problème de parité chez l'Helicopter provient de l'utilisation des rotations non-standard.

Eh bien chez le Square-1 c'est pareil, le problème c'est qu'il faut trouver ceux qui sont les rotations standard et non-standard chez le Square-1.
Pour le square-1 on a:
Rotations standard: {3, 3B, S, Q, R, T}
Rotations non-standard: {1, B, /}

Observons bien les rotations de base, elles vérivier la loi "de parité", "en phase" :
Helicopter : Les sommets et les feuilles (d'une orbite) sont en phase : sig(sommets)=sig(feuilles)
Square-1 : Les sommets et les arrêtes sont en phase : sig(sommets)=sig(arrêtes)
et lorsqu'on utilise le rotations non-standard il peut arriver qu'on viole cette loi donc ==> "problème de parité"

Pour un état e quelconque du cube on a :
a. non-cubique,impair =>
b. non-cubique,pair =>
c. cubique,impair => problème de parité (par définition)
d. cubique,pair => G

Donc parler de la parité il faut fixer, préciser ceux qui sont les rotations de base (rotations standard), c'est-à-dire péciser le groupe G par rapport auquel on a violé la loi des phases.

Probabilité d'avoir une parité
On pourrait se demander quelle est la probabilité de tomber dans le problème de parité ?
-Avant de passer à la forme cubique on est, soit dans un état pair e, soit dans un état impair
-On passe à la forme cubique par une formule, soit pair F, soit impair
d'où l'arbre de probabilité

l'Arbre de probabilité
d'où

= 1/2 . 1/2 + 1/2 . 1/2 = 2/4 = 1/2
On a 50% de chance d'avoir la parité

Fixer la parité

Un état de parité e c'est un élément qui n'est pas dans G, e ∉ G, pour fixer la parité, on est donc obligé d'utiliser quelque part les rotations non-standard {1, B, /}

A. Première méthode
On casse la forme cubique, rendre l'état pair puis revenir à la forme cubique.

I. Forme cubique ===> II. forme Roue ===>
III. forme cubique

Pour voir il suffit de passer à la forme Roue (f0) à partir de l'état résolu (pair), puis on fait 2B (rotation de l'étoile = permutation impaire des sommets) puis on revient à la forme cubique, là le twist sera en état impair, et on aura donc un problème de parité, autrement dit il suffit que le twist soit en état impair avant de passer à la forme cubique, on aura un problème de parité.

Finalement le problème de parité de Square-1 provient au moment où l'on remonte toutes les arêtes vers le Haut (la forme roue) pour passer à la forme cubique. En fin compte c'est assez logique que la parité se produit pendant cette phase. En effet , les arrêtes et les sommets sont remontés de façon arbitraire , ils ne suivent peut-être plus la loi des phases... et comme vous le savez dèsqu'il y a de l'arbitraire on risque d'avoir la parité ...

Pour bien comprendre les choses, prenez votre Square-1 à l'état résolu, puis appliquez cette formule.
/-3-3B/2+B/-2-4B/ ; formule pair
Vous tombez sur la forme Roue, obsevez bien la disposition des pièces, si vous faites 2B, les sommets et les arêtes ne sont plus en phases (sommets = permutation impaire, arêtes = immobiles = permutation paire) donc si vous revenez à la forme cubique maintenant vous aurez un problème de parité!
autrement dit
  1. Cube -> Roue : /-3-3B/2+B/-2-4B/ ; pair
  2. Permutation impaire des sommets : 2B (6-cycle)
  3. Roue -> Cube : /2+4B/-2-B/3+3B/ ; pair

6-cycle sommets => impair

B. Deuxième méthode
Pour fixer la parité, on va transformer l'état impair du cube en état pair par les formules ci-dessous
tenir le cube: (HA)<->(HD)
W = (/ 3+3B/ 1+2B/ 2+2B/ 2/ 2+2B/ 1+2B/ -3-3B/) + (1/ 3+3B/ -1-B/ 3+3B/-2B)
ou bien
V = 1/2+2B/-2B/3+3B/1/4+4B/-2B/2+2B/-B/3+3B/

état impair état pair

Un Algorithme:

Lorsque le cube est en état pair, alors on peut résoudre le cube par G, voici l'algorithme s'exprimant avec ces 6 formules (très précieuses) :

S = 1/3/-1 ==> Descendre un sommet
X = (1/3/-1)-3B+(1/3/-1)-3+(1/-3+3B/-1)-3 = S-3B+S-3-S+Q-3 ==> Permuter 2 sommets Haut
Y = (-B/6/B)+3B+(1/6/-1)+6B+(-B/-3/B)+6B = 2R+3B+2S+6B-R+6B ==> Descendres 2 arêtes
Z = (-B/6/B)-3B+(1/6/-1)+6B+(-B/3/B)+6B = 2R-3B+2S+6B+R+6B ==> Permuter 2 arêtes-Haut, 2 arêtes-Bas

S X
Y Z


L'algorithme:
  1. Ranger les sommets Bas: C'est possible grâce à: S, 3, 3B : on place les sommets 1,2 puis 4 à la place du 3, puis on place le 3 qui pousse le 4 à sa place
  2. Ranger les sommets Haut: C'est possible grâce à: X, 3
  3. Ranger les arêtes Bas: C'est possible grâce à: Y,Z, 3, 3B
  4. Ranger les arêtes Haut: C'est possible grâce à: Z, 3

Résumons nous:

1. Lorsqu'on mélange le cube avec les rotations {1,B,/} on arrive à l'un des 4 états ci-dessous
a. non-cubique,impair =>
b. non-cubique,pair =>
c. cubique,impair => problème de parité (par définition)
d. cubique,pair => G

2. Le groupe G de Square-1 c'est l'ensemble des permutations p=(u,v) provenant des rotations cubiques et vérifient sig(u)=sig(v)
G = { (u,v)∈S8xS8/ sig(u)=sig(v) }
G provient de M = C = < 3, 3B, S, Q, R, T >

3.Lorsqu'on mélange le cube avec les rotations {1,B,/} il arrive parfois que l'état du cube soit impair, puis on passe à la forme cubique en gardant cet état ainsi on a un probleme de parité.

4. Pour fixer la "parité" on a plusieurs méthodes
Première méthode
Le principe est simple: de la forme Cube on passe à une autre forme, puis on fait une permutation impaire des sommets, et on revient à la forme Cube, le twist est maintenant en état pair.
Exemple:

Cube ==> Roue (/-3-3B/2+B/-2-4B/) ; pair
2B ; sommets impair
Roue ==> Cube (/2+4B/-2-B/3+3B/) ; pair
Résoudre de nouveau le cube. (sommets et arêtes sont maintenant en phase)

6-cycle sommets

Deuxième méthode
On rend le cube en état pair grâce à la formule ( tenir le cube: (HA)<->(HD) )
W = (/ 3+3B/ 1+2B/ 2+2B/ 2/ 2+2B/ 1+2B/ -3-3B/) + (1/ 3+3B/ -1-B/ 3+3B/ -2B)
ou bien
V = 1/ 2+2B/ -2B/ 3+3B/ 1/ 4+4B/ -2B/ 2+2B/ -B/ 3+3B/

5. Finalement la causalité de la "parité" chez le Square-1 est très subtile à comprendre, plus difficile à comprendre que chez le Barrel: permuter 2 arêtes par exemple. Le mélange peut donner un état impair à la forme cubique, qui viole ainsi la loi des phases de G on aura donc un problème de parité !!!
En conclusion: La difficulté c'est trouver un groupe possédant la loi des phases, c'est-à-dire de trouver les rotations C = < 3, 3B, S, Q, R, T >.

Conclusion Cette étude théorique du Square-1 permet d'avoir un algorithme de résolution du Square-1 (on est sûr de s'en sortir à 100%)
Algorithme
  1. On passe de la forme non-cubique à la forme cubique par les 5 formules .
    f0 = /2+4B/-2-B/3+3B/
    f1 = /-2/3-4B/-2/
    f2 = /-2B/2
    f3 = /-2B/-4
    f4 = /2/
  2. Si le cube a un état impair, on utilise la formule W ou V pour le transformer en état pair .
  3. On résoud le cube par G

Un théorème

On se demande si l'ensemble K des mouvements qui conservent la forme cubique, est l'ensemble C des mouvements cubiques du puzzle? la réponse est non, en effet les mouvements cubiques sont pairs (les permutations associées sont paires) tant disque les mouvements conservant la forme cubique peuvent être pairs ou impairs. Soit Kpair ⊂ K les mouvements conservant la forme cubique et pairs, alors grâce au algorithme ci-dessus on a Kpair = C .
En effet, un élément F, de Kpair donne un état EF cubique et pair, donc on peut résoudre le twist avec l'algorithme ci-dessus qui utilise uniquement des rotations cubiques, autrement dit on revient à l'état résolu r avec une grosse formule N de C. Donc -N et F donne le même l'état EF elles sont identiques -N=F => Kpair ⊂ C comme C ⊂ Kpair => Kpair = C

Théorème: Les mouvements cubiques sont des mouvements conservant la forme cubique du twist et pairs
Autrement dit les mouvements conservant la forme cubique du twist et pairs, s'expriment ou engendrés par les 6 rotations {3, 3B, S, Q, R, T}


-N=F


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