Le secret du siamois

06 Jul 2015

Une propriété mathématique étonnante Durant la résolution du siamois, j'ai remarqué une chose assez curieuse: Lorsqu'on place les deux sommets Bas (BAD) et (BPD) les 4 sommets Haut seraient automatiquement bien placés (on tourne H si besoin)!!! , On n'a pas besion de permuter 2 sommets (transposer) ou de faire un 3-cycle, seule la rotation H suffit (les sommets sont déjà bien placés) On pourrait dire cela autrement, si un sommet est bien placé alors les 3 autres seront automatiquement bien placés, comme on peut toujours bien placé un sommet en tournant H donc tous les 4 seraient bien placés en utilisant seulement H. Cette curieuse propriété provient d'une propriété étonnant de mathématique.


Entrons dans l'aventure ...

C'est vrai pourquoi n'a t on pas besion de permuter deux sommets ni de faire un 3-cycle pour bien placer les sommets Haut quand les 2 sommets Bas sont bien placés ?

Voyons cela de plus prés :
Si vous avez fait attention, vous auriez remarqué que le siamois ne permet que deux rotatations H, D qui effectent les sommets (les rotations d et h ne touchent pas les sommets). Le groupe des formules < H,D > engendré par H, et D gènère un groupe de permutations < H,D >s , nommé le groupe sommet de < H,D >. < H,D >s est évidemment un sous groupe de S6 .

La remarque précédente, provient d'une propriété très curieuse du groupe < H,D >s découverte par D. Singmaster. En effet on a 6 sommets qui baladent par tout donc on s'attend à se trouver les 6!=720 permutations, cad < H,D >s = S6 . Et bien D. Singmaster a montré que < H,D >s est beaucoup plus petit plus exactement 120 éléments au lieu de 6!=720 éléments ! et encore ce groupe à 120 est très spécial, très connu ...

On comprend maintenant pourquoi on n'a pas besoin de permuter deux sommets, ni de faire un 3-cycle pour bien placer les 4 sommets Haut, car ce sont des configurations qu'on ne peut pas atteindre, autrement dit ce ne sont pas des éléments du groupe < H,D >s.

Vers un chemin difficile ...

Formons nous les 5 motifs suivants:
a = { {2,3}, {1,6}, {4,5} }
b = { {2,5}, {3,6}, {1,4} }
c = { {1,2}, {3,5}, {4,6} }
d = { {1,3}, {2,4}, {5,6} }
e = { {1,5}, {2,6}, {3,4} }
et soit E = { a, b, c, d, e } l'ensemble de ces 5 motifs

Soient p = 1->2->3->4 et q = 3->6->5->4 les permutations associées à H et D (p,q ∈ S6), on a donc < H,D >s = < p,q >

Voyons l'effet de p sur E
a = { {2,3}, {1,6}, {4,5} } -> { {3,4}, {2,6}, {1,5} } : a -> e
b = { {2,5}, {3,6}, {1,4} } -> { {3,5}, {4,6}, {2,1} } : b -> c
c = { {1,2}, {3,5}, {4,6} } -> { {2,3}, {4,5}, {1,6} } : c -> a
d = { {1,3}, {2,4}, {5,6} } -> { {2,4}, {3,1}, {5,6} } : d -> d
e = { {1,5}, {2,6}, {3,4} } -> { {2,5}, {3,6}, {4,1} } : e -> b
a->e->b->c
càd p(a) est un élément de E, p(b) est un élément de E, etc ....

De même pour q
a -> e
b -> d
c -> c
d -> a
e -> b
a->e->b->d
càd q(a) est un élément de E, q(b) est un élément de E, etc ....

p et q laissent invariant E ( p(E)=E, q(E)=E ) donc le groupe < p,q > laisse invariant E. Maintenant nous pouvons répondre à notre question.
Supposons qu'il existe une permutation qui échange seulement 2 sommets Haut par ex r=(1,2) alors

r=(1,2)
a -> { {1,3}, {2,6}, {4,5} }
b -> { {1,5}, {3,6}, {2,4} }
c -> c={ {1,2}, {3,5}, {4,6} }
d -> { {2,3}, {1,4}, {5,6} }
e -> { {2,5}, {1,6}, {3,4} }
r(a)∉E, r ne conserve pas E donc r n'est pas un élément du groupe < p,q >, c'est donc une configuration impossible à atteindre.
de même pour un 3-cycle s=(1,2,3)
Et voilà le travail, le truc c'est de trouver un objet invariant par < H,D >s , on a trouvé E l'ensemble de ces 5 motifs ci-dessus.

Encore plus loin ...

On a répondu à notre question, mais on ne sait pas combien le < H,D >s est petit. Voyons
La permutation p donne la permutation u = a->e->b->c de E , et q en donne une autre v = a->e->b->d , maintenant on va associer un élément de < p,q > à une permutation de < u,v > ⊂ SE de façon suivante:

f: < p,q > ---> < u,v >
p ---> u : f(p) = u
q ---> v : f(q) = v
C'est évidemment un homomorphisme, elle est clairement sujective , en effect on trouve toujours un antécédant par exp pour :
r = u²vuv-1 ---> f(p²qpq-1) = r
on va voir qu'elle est aussi injective. Comme c'est un homomorphisme il suffit de montrer que son noyau se réduit à l'identité.

f injective
Notons I l'identité de < p,q >
on prend donc t , un élément de < p,q > tel que f(t) = id (f(t) c'est une permutation de E, f(t) = id ça signifie que t laisse E fixe: t(a)=a, t(b)=b, t(c)=c, etc ... )
rappel
a = { {2,3}, {1,6}, {4,5} }
b = { {2,5}, {3,6}, {1,4} }
c = { {1,2}, {3,5}, {4,6} }
d = { {1,3}, {2,4}, {5,6} }
e = { {1,5}, {2,6}, {3,4} }


supposons que t(1) = 3

dans e:
t(1) = 3 oblige t(5)=4 car t(e)=e

dans c: t(1) = 3 oblige t(2)=5 car t(c)=c

dans b: t(2) = 5 oblige t(5)=2, car t(b)=b, mais t(5)=2 contraditoire avec t(5)=4

donc t(1)≠3, même raisonnement montre que t(1)≠ 2,4,5,6 seul cas possible t(1)=1
et le même travail donne
t(2)=2, t(3)=3, ... , t(6)=6, c'est à dire t=I, f est donc injective, et finalement elle est bijective.
Et c'est presque fini, le programme GAP donne l'orde de |< u,v >| = 120, on a donc bien
|< u,v >| = |< H,D >s| = 120


[1]

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DMJ: 06/07/2015









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