Les commutateurs, type cube

12 Oct

Préface ... En tant que cubeur vous avez peut-être remarqué que pour certains cubes on peut s'en sortir uniquement avec des commutateurs .

La question naturelle est donc:
- Pour quel type de cube qu'on peut le résoudre uniquement par des commutateurs ?
- Et pourquoi ?


Type de Cube

Commençons par définir les types de cube, pour simplifier l'exposé on suppose que le cube possède seulement trois sortes de pièces : les arêtes, les sommets et les feuilles et chaqu'un reste dans leur camp lors d'un mouvement . Quand on fait une rotation de base celle-ci gènère une permutation totale du type p = uvw avec u=permutation des arêtes, v = permutation des sommets et w = permutation des feuilles.

On dit qu'un cube est de type normal si: p est paire ou impaire, donc il suffit d'avoir une permutation impaire pour être pormal
On dit qu'un cube est de type pair si: p = paire, sig(p) = 1
On dit qu'un cube est de type localement pair si on a : sig(u) = sig(v) = sig(w) = 1 , c'est à dire si chaque permutation est paire
On dit qu'un cube est de type synchronisé si: sig(u) = sig(v) = sig(w)

Exemple: Le Pocket est normal, le Rubik's Cube est de type synchronisé, le Dino Cube et le Skewb sont localement pairs ....

Les commutateurs

Un commutateur est un truc comme ça : aba'b' que l'on note [a,b] (lire crochet ab) comme HDH'D'=[HD], on va noter S'n l'ensemble engendré par des commutateurs. On appelle S'n la dérivée de Sn (rappel: Sn c'est l'ensemble des permutations à n objets)

S'n = < [a,b] avec a,b ∈Sn > engendré par des commutateurs
ou encore:
S'n = { x=[a,b][c,d][e,f]... avec a,b,c,d,e,f... ∈Sn } produit des commutateurs

Note : l'ensemble des commutateurs ne forme pas un groupe, car en général le produit de 2 commutateurs n'est pas un commutateur. C'est l'ensemble des produits de commutateurs qui est un groupe

Les permutations paires An forment un sous groupe de Sn donc si on arrive à montrer que
S'n = An on a gagné: tous les cubes localement pairs se résolvent uniquement par des commutateurs.
Allons y

S'n ⊂ An

On a [Sn:An]=2 ça signifie que Sn/An n'a que 2 éléments (2 classes) qui sont An et son complémentaire A'n
Or An est l'élément neutre "1" de Sn/An d'où A'n.1 = 1. A'n donc Sn/An est commutatif.

Maintenant soit [a,b] supposons que [a,b] ∈ A'n
[a,b] = aba'b' = k avec k∈A'n
aba'b' = k
En passant par les classes, on a:
Ana.Anb.Ana'.Anb' = Ank
Ana.Anb ≠ Anb.Ana
ce qui contredit Sn/An est commutatif donc [a,b] ∈ An

Un commutateur [a,b] est dans An , donc le produit des commutateurs est dans An
Finalement
S'n ⊂ An

An ⊂ S'n

Il suffit de remarquer qu'on a la formule suivante:
(a,b,c) = (c,b,a)(a,c)(c,b,a)'(a,c)'
le 3-cycle (a,b,c) s'exprime en commutateur et comme les 3-cycles engendrent An les éléments de An s'exprimeront en commutateurs autrement dit on a:
An ⊂ S'n
et finalement
An = S'n

NOTE : la formule F génère une permutation pF des stickers, T gènère une permutation pT des stickers, étudier [FT] revient à étudier [pFpT]

Application sur le Rubik's Cube

Voyons tout ça sur notre Rubik's Cube
Si les arêtes sont en état pair ( sig(arêtes)=1 ), pour déplacer les arêtes ça on est sûr de pouvoir le faire uniquement par des commutateurs, mais pour pivoter les arêtes est on sûr de pouvoir le faire avec les commutateurs ?
- La réponse est affirmative, grâce à la relation: x' = a + u(x) où u∈S'n
u s'exprime en commutateurs donc les commutateurs peuvent changer le vecteur d'orientation des arêtes càd faire pivoter les arêtes.

Même remarque pour les sommets

Concrêtement:
  1. Si localement impair alors H
    Sinon Placer les arêtes: (HP)->(HD)->(AD) = [HD]
  2. Pivoter les arêtes: (HA)°(HD)° = [TH] avec T=AHB'G²H²B²D
  3. Placer des sommets: (HPG)->(HAG)->(HPD) = [Z,G'] avec Z=[HD]
  4. Pivoter des sommets: (HPG)°(HAG)° = [Z²,G']

Finalement on peut restaurer le Cube uniquement par H et les commutateurs.

Résumons

Certains twists se résolvent uniquement par des commutateurs (plus exactement par des produits des commutateurs) càd des formules du genre [XY][ZT]... (X,Y,Z,T... formules), parce que:
  1. Son groupe est An
  2. Il n'y a pas d'orientation ou l'orientation suit la loi x' = a + u(x) où u∈S'n
  3. On trouve un commutateur [XY] qui donne un 3-cycle
par exp: le Dino Cube, le Skewb, le Pyraminx ... par contre on a besoin autre chose -H- que les commutateurs pour résoudre le Rubik's Cube

1 2 3 [4] 5 6

Accueil

DMJ: 06/07/2015







Facile

Moyen

Difficile

Les Crazy

Les Stars

Divers

Théorie des Twists

Quiz (Master Cube)