Le groupe du Void Cube

Difficulté: 14/20

7 Mars

Préface Auteur: morphocode
Année: 2014

Un petit rappel, le Void Cube est déssiné par Katsuhiko Okamoto, et ce cube a gagné le prix Puzzle Design Competition en 2007. Il est vraiment intéressant, car c'est le premier cube pouvant générer la parité !! , c'est un cousin du Rubik's Cube ou plutôt un "fils" !!

Récemment j'ai lu un article assez étrange, où on démontre le théorème suivant:
" Le groupe du Void Cube V est un sous groupe du Rubik's Cube G "

C'est vraiment étrange je dirais même contraditoire !! , en effet si on se souvient bien, les éléments du Rubik's Cube doivent vérifier sig(sommets) = sign(arêtes) or un élément du Void Cube peut avoir sig(sommets) ≠ sign(arêtes) - problème de parité - donc si V ⊂ G il suffit de prendre un x∈V avec sig(sommets) ≠ sig(arêtes) on aura une contradition car on aurait à la fois
sig(sommets) ≠ sig(arêtes) et
sig(sommets) = sig(arêtes) !!!

Je dois avouer qu'il me faut plusieurs jours pour comprendre cette contradition (apparente).

En fin compte, si on réfléchit bien, que veut dire "incluse" dans G ? c'est simplement imposer aux éléments de G une condition supplémentaire c'est tout !!!
dire que K ⊂ G ça signifie par exp
K = { (u,x,v,y)∈G avec u((BA)) = (BA) } l' arête (BA) ne bouge pas.

Et qu'est ce que c'est V ? c'est simplement un groupe dont on peut distinguer deux sortes d'éléments: ceux qui vérifient la condition sig(sommets) = sig(arêtes) et ceux qui ne la vérifient pas, donc si on trouve un groupe K et qu'on peut distinguer ses éléments du genres pairs, impairs ou valeur 1, 0 bref un truc qui a deux clans, et on aura quelque chose qui ressemble à V.

L'idée est donc:
1. Trouver un sous ensemble K de G (en ajoutant une condition)
2. Montrer que K est un groupe
3. Remarquer que K a deux sortes d'éléments
4. Montrer que K est isomorphe à V

Rappel les notations

Avant tout rappelons les notations:
(HA) = l'emplacement Haut-Avant , c'est un emplacement d'une arête
Par abuse de langage on dit aussi l'arête (HA) pour dire le contenu de l'emplacement (HA)
H-A = c'est l'arête (une pièce) de couleur Haut-Avant

(HAD) = l'emplacement Haut-Avant-Droite , c'est un emplacement d'un sommet
Par abuse de langage on dit aussi le sommet (HAD) pour dire le contenu de l'emplacement (HAD)
H-A-D = c'est le sommet (une pièce) de couleur Haut-Avant-Droite

Si votre cube est:
Haut=blanc, Bas=jaune, Avant=vert, Postérieur=bleu, Gauche=orange et Droite=rouge
alors
H-A c'est l'arête blanc-vert
(HA) peut contenir les pièces B-D, H-P càd jaune-rouge , blanc-bleu , ....
H-A-D c'est le sommet blanc-vert-rouge
(HAD) peut contenir les pièces B-D-A, H-P-G càd jaune-rouge-vert , blanc-bleu-orange , ....

Référentiel

Avant d'aller plus loin, il y a une notion très importante qu'on doit maitriser: le référentiel
Pour comprendre faissons une expérience.
Jean nous donne un Rubik's Cube mélangé à partir d'un état s , il l'a mélangé avec la formule F = HPBAD²B'G, Jean nous demande de retouver l'état s.
Le seul moyen de retrouver l'état s c'est d'appliquer la formule inverse F' = G'BD²A'B'P'H' mais le big problème c'est : Où est le Haut ? le Bas ? l'Avant ?? etc ...!!
Sans ces informations on ne peut rien faire, on peut résoudre le cube mais ça nous sert à rien car on tombe sur l'état résolu, qui n'est pas l'état s demandé.

Référentiel R

Quand on fixe le centre Haut=blanc, le centre Avant=vert par exp, on dit qu'on a orienté le cube (ne pas confondre avec l'orientation des sommets ou des arêtes) ou on a fixé le cube, ou encore on se place dans le référentiel R (rappel H=blanc, A=vert) . On travaille toujours dans un référentiel, c'est normal puisqu'on parle de H,B,G,D .... il faut savoir où est le Haut , le Bas etc .... Pour avoir un référentiel il suffit de fixer les centres (H) et (A), car en Rubik's Cube les centres ne bougent pas.

Résumons En Rubik's Cube il faut toujours fixé le cube, autrement dit il faut orienter le cube, pour ça on fixe les deux centres (H) et (A) , pour nous c'est (H)=blanc, (A)=vert c'est le référentiel dans lequel nous travaillons et que nous désignons par R

Analyse du Void Cube

Comme le Void Cube n'a pas de centre , pour fixer le cube (orienter le cube) il faut utiliser une arête pour nous c'est: (BA) avec B=jaune, A=vert autrement dit (BA)=jaune-vert , cette arête jaune-vert doit être invariante, (ne pas bouger, ne pas changer l'orientation) c'est le référentiel du Void Cube et nous le désignons R' (B=jaune, A=vert) ,
Référentiel R'

Ainsi on supprime les rotations B, A et les remplace par b, a ou encore h, a (c'est pareil) , l'ensemble des formules du Void Cube est donc M = <H,P,G,D,h,a>

Si on prend M = <H,B,A,P,G,D> càd on mélange le Void Cube avec les rotations {H,B,A,P,G,D} comme en Rubik's Cube , on gènère plus d'états qu'il en faut comme indique la fig ci-dessous
Le même état ci-dessous Le même état ci-dessous
Un état du Void Cube

M = <H,P,D,G,h,a> laisse l'arête (BA) invariante (invariant : ne bouge pas, ne change pas d'orientation, fixe : ne bouge pas, mais peut changer l'orientation) !! ça veut dire qu'on a 11 arêtes seulement au lieu de 12 donc on a affaire à S11 pour les arêtes. Le groupe V+ étendu du Void Cube est donc
V+ = S11 x Z211 x S8 x Z38
le groupe du Void Cube V est un sous groupe de V+ vérifiant
(u,x,v,y)∈V+
∑xi = 0 (mod 2)
∑yi = 0 (mod 3)

V c'est aussi les permutations générées par M
On a tout de suite le cardinal de V
|V| = 11! x 211 x 8! x 38/2x3 = 11! x 210 x 8! x 37

Rappelons que la loi dans V est
Pour les arêtes : (u,x)(w,z) = (uw,x+u(z)) pour les sommets c'est pareil.

Le groupe des Spots du Rubik's Cube

On a vu que plusieurs états du Rubik's Cube correspondent à un état du Void Cube, On va poser la question suivante:
Quels sont les états du Rubik's Cube qui correspondent à l'état résolu du Void Cube ??

Un état du Rubik Un état du Rubik
l'état résolu de Void Cube

On va noter H l'ensemble des états du Rubik's Cube qui correspondent à l'état résolu du Void Cube , voyons combien H possède d'éléments, un élément de H c'est un état où les faces ont la même couleur, sauf peut-être le centre. Pour connaitre le nombre d'éléments de H, deux formules vont nous aider

K = (HD²H'aH . D²H²aHa')²
Q = [h,a]

On a:
- Etat résolu du Rubik ⇒ état résolu du Void Cube
- Appliquer K ça donne : 2 centres opposés fixes + 2 centres opposés permutés + 2 centres opposés permutés ⇒ donc on a 3 états de ce type
- Appliquer Q ça donne : 3 centres tournés autour d'un sommet-haut + 3 centres tournés autour du sommet-opposé ⇒ donc pour un sommet-haut on a deux états (sens horaire et sens contraire) comme on a 4 sommet-haut ça fait 8 états de ce type
finalement: 1 + 3 + 8 = 12 états, |H|=12
il n'y en a pas d'autres, en effet ce sont des permutations paires des centres (elles conservervent l'état résolu du Void Cube), et comme il y a 24 permutations des centres Sc=S4 on a 12 permutations paires

REMARQUE
1. H = < k,q > où k (resp. q) est la permutation associée à K (resp. Q).
k=(1,2)(5,6);
q=(3,5,2)(1,4,6);
2. On pourrait penser que H = S6 puisqu'on a 6 centres, mais c'est une erreur, car les centres ne bougent pas comme ils veuillent, par exp on ne peut pas avoir blanc<->vert ! les centres sont physiquement soudés entre eux donc on n'a pas toutes les 6! permutations

Groupe des Spots

On va montrer que H est un groupe que l'on nomme le groupe des Spots
- e∈H (e=état résolu, il est dans H)
- Un élement h de H laisse invariant la couleur des faces donc le produit de deux éléments de H est encore dans H, par exp pour la face rouge
h(rouge) = rouge
g(rouge) = rouge
h[g(rouge)] = h(rouge) = rouge ⇒ hg∈H
de même h∈H ⇒ h-1∈H en effet
h(rouge) = rouge
rouge = h-1(rouge)
H est donc un groupe, mais malheureusement il n'est pas normal dans G !!!
un groupe normal si on a ghg-1∈H pour tout g∈G et h∈H il suffit de prendre
g état engendré par (H²D²)3H(H²D²)3H' (tenir le cube: (H)=blanc, (A)=vert)
et h état engendré par (HD²H'aH . D²H²aHa')² (tenir le cube: (H)=blanc, (A)=vert)
on a g=g-1 (tenir le cube: (H)=blanc, (A)=vert)
ghg-1 n'est pas dans H puisque les faces n'ont pas la même couleur.

On ne peut pas "diviser" G par H donc pas de groupe quotient G/H , la seule chose qu'on peut avoir c'est des classes G\H = {aH, bH, cH , ... }

NOTE : On démontre que H = A4 , on peut se demander comment est il possible un truc à 6 centres correspond à un truc à 4 objets, en fait A4 est le groupe des déplacements (le groupe des symétries) du tétraèdre (le Pyraminx) et ses 6 arêtes correspondent aux 6 centres du cube.

Le Void Cube et les classes du Rubik's Cube

Considèrons l'application suivante: l'ensemble des classes G\H de G vers V
f: G\H -> V
aH -> f(aH) = a ; on prend un état t de G et on oublie les centres a=t sans-centres
1. f est visiblement surjective, en effet un état a de Void Cube on associe la classe aH
2. f est injective: f(aH)=f(bH) ⇒ a=b ⇒ aH=bH
donc f est bijective

On a: G = U aH = aH U bH U cH ... ; les classes forme une partition de G
|G| = ∑k |aH| où k=nombre de classes
|G| = ∑k |H| car |aH| = |H|
|G| = k|H|
d'où
k = |G\H| = |G|/|H|
|V| = |G|/12 = 11! x 210 x 8! x 37
car G\H et V sont en bijection, on trouve bien le même résultat plus haut.

RESUME
  1. M = <H,P,D,G,h,a>
  2. V+ = S11 x Z211 x S8 x Z38
    Le groupe du Void Cube V est un sous groupe de V+ vérifiant
    (u,x,v,y)∈V+
    ∑xi = 0 (mod 2)
    ∑yi = 0 (mod 3)
  3. |V| = |G|/12

[1] 2

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DMJ: 06/07/2015







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