Indicatrice du Rubik's Cube

16 Jan

Introduction ... Prenons le Rubik's Cube et posons nous 2 questions suivantes:
- Combien de Cubes différents si on le peint avec seulement 3 couleurs, ou 6 couleurs (une couleur par face et une couleur peut être utilisée plusieurs fois) ?
- Combien de Cubes différents si on le peint avec 1 face jaune, 2 faces rouges, et 3 faces bleues ?


Analyser le problème

Voyons comment on dit 2 Cubes sont identiques ...

Ces 2 Cubes sont identiques
On passe de a à b par la rotation C(90°)

En effet si on le tient dans la main , on ne verra pas la diférence, pour nous c'est un Cube à 4 couleurs orange-rouge-vert et blanc. Il n'y a pas de Haut, ni de Bas, ni Gauche, ni Droite ,... c'est un Cube "mobile" on peut le bouger, tourner, pivoter .... contrairement à un Cube fixe il y a un Haut, un Bas ....

Un Cube fixe c'est comme votre chambre: il y a le plafond, le plancher, ....

Pour un Cube mobile, on le tient dans la main comme on veut ça ne change rien, mais on passe d'une position à une autre par des rotations
Exemple on passe de fig(a) à fig(b) par la rotation C(90°)=d'axe centre-centre à 90°:

La question se pose donc quelles sont les rotations qui laissent invariant le Cube ?

Le groupe des déplacements du Rubik's Cube D(R)


3 types de rotations Rotation C: Axe centre-centre

Rotation A: Axe arête-arête Rotation S: Axe sommet-sommet

Il y a trois types de rotations sur le Cube: les rotations d'axe centre-centre, les rotations d'axe arête-arête (axe passe par les milieux d'arêtes), les rotations d'axe sommet-sommet , mais avant tout on va introduire une notation: Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments

Rotation C: Axe centre-centre
- il y a 3 rotations C(90°) ==> 2 orbites à 1 élément, 1 orbites à 4 éléments ce qui donne
3T12T4
- il y a 3 rotations C(-90°) ==> 2 orbites à 1 élément, 1 orbites à 4 éléments ce qui donne
3T12T4
- il y a 3 rotations C(180°) ==> 2 orbites à 1 élément, 2 orbites à 2 éléments ce qui donne
3T12T22

Rotation A: Axe arête-arête
- il y a 6 rotations A(180°) ==> 3 orbites à 2 éléments ce qui donne
6T23

Rotation S: Axe sommet-sommet
- il y a 4 rotations S(120°) ==> 2 orbites à 3 éléments ce qui donne
4T32
- il y a 4 rotations S(-120°) ==> 2 orbites à 3 éléments ce qui donne
4T32

Et bien sûr
L'identité id
- il y a un id ==> 6 orbites à 1 élément, ce qui donne
T16

Soit au total: 9+6+8+1(identité) = 24 rotations, ces rotations forment un groupe D(R) (identique à S4 = D(R) ) ce qu'on appelle le groupe de déplacement (isométrie positive) du Cube. il laisse invariant le Cube.

La fonction définie par:
K = (6T12T4 + 3T12T22 + 6T23 + 8T32 + T16)/24
se nomme l'indicatrice du Rubik ou l'indicateur des cycles de D(R). Pourquoi des 'cycles' ??
En fait on peut voir les choses autrement, on peut dire: Tnk , signifie on a: n cycles de longeur k
voyons pour:

Rotation C: Axe centre-centre
- il y a 3 rotations C(90°) ==> les faces bougent ==> (H)(B)(D,A,G,P)==> deux 1-cycle, un 4-cycle ce qui donne
3T12T4
- il y a 3 rotations C(-90°) ==> les faces bougent ==> (H)(B)(D,P,G,A)==> deux 1-cycle, un 4-cycle ce qui donne
3T12T4
- il y a 3 rotations C(180°) ==> les faces bougent ==> (H)(B)(A,P)(G,D)==> deux 1-cycle et deux 2-cycle ce qui donne
3T12T22

L'indicatrice du Rubik

On rappelle que ça vaut:

K = (6T12T4 + 3T12T22 + 6T23 + 8T32 + T16)/24

Tkn , signifie on a: n orbites à k éléments
ou encore
Tkn , signifie on a: n x k-cycles , n cycles de longeur k

Fonction coloriage µ, µ*

On a 2 fonctions de coloriage du cube
La fonction µ définie par:
µ = dans K, on remplace Tk = c où c=le nombre de couleurs
µ = (6c2c + 3c2c2 + 6c3 + 8c2 + c6)/24
µ = (12c3 + 3c4 + 8c2 + c6)/24

Pour simplifier on ne prend que 3 couleurs X1, X2, X3
La fonction définie par:
µ* = Dans K , on remplace Tk = (X1k+X2k+X3k)

Réponse à nos questions

- Combien de Cubes différents si on le peint avec seulement 3 couleurs ?
µ = (12c3 + 3c4 + 8c2 + c6)/24
pour c=3
µ = (12.33 + 3.34 + 8.32 + 36)/24
µ = 57 !!!!

- Combien de Cubes différents si on le peint avec a couleurs X1, b couleurs X2, et c couleurs X3, ?
Il suffit de développer µ* et trouver le coefficient de X1a X2b X3c, bien sûr on ne développe pas µ* à la main il y a des programmes, des calculatrices qui le font pour nous.

Commentaire

Pour trouver l'indicatrice du Cube on est obligé de passer par le groupe de déplacement, une fois trouvé l'indicatrice K elle nous fournit 2 fonctions de coloriages µ et µ* mais seulement µ qu'on peut le calculer manuellement, quant à µ* il faut des machines pour calculer. Retenons donc simplement µ

µ = (12c3 + 3c4 + 8c2 + c6)/24


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DMJ: 15/02/2017









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