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Vecteurs contravariants et covariants

On se donne un espace R-euclidien E et une base quelconque c_i (i=0,1,2,...,n). On pose:
c_i.c_j = g_ij ('.' = produit scalaire)
g^ij = (g_ij)^-1 l'inverse de g_ij
et

pour ne pas alourdir l'écriture on écrit simplement (convention d'd'Einstein)

On somme quand l'indice-haut=indice-bas et on utilise les lettres grecs pour l'indice de sommation si ça donne plus de lisibilité.

on a:


Un vecteur A s'exrpime dans la base c_i:

Les Aⁱ sont des composantes contravariantes de A


Au lieu de projeter paralèllement sur les axes , on peut projeter perpendiculairement comme indique la figure ci-dessous


Les A_i sont des composantes covariantes de A

Un simple calcul nous donne les composantes covariantes de A:
A = A_icⁱ
A.c_k = A_icⁱ. c_k
A.c_k = A_i g^iα c_α . c_k
A.c_k = A_i g^iα g_kα
Mais quand i=k on a g^kα g_kα=1, zéro 0 sinon
d'où
A.c_k = A_k

Par abuse de langage on dit que Aⁱ est un vecteur contravariant et A_i un vecteur covariant, au lieu des composantes d'un vecteur.

La base c_i est la base covariante et cⁱ la base contravariant associé à c_i

Changement de base

Soit c'_i une nouvelle base , donnée par:

ou

Le P_i^j est la matrice de passage de la base c'_i → c_i et
Le Q_i^j est la matrice de passage de la base c_i → c'_i
et on a:

où


Voyons maintenant comment un vecteur contravariant Aⁱ se transforme en A'ⁱ

d'où

en changeant les indices

de même

d'où

en changeant les indices


Voyons pour un vecteur covariant A_i

d'où


A_i se transforme en A'_i suivant la règle:


résumé:

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DMJ: 19/07/2018