Gravitation newtonienne
La gravitation formulée par Newton se résumme en deux lois
- Loi du champ
(a)
- et loi du mouvement
(b)
Réécrivons cette écriture
Au lieu d'introduire la notion de "force" on va introduire la notion de "champ" . Une masse M creé autour d'elle un champs g
(a)
ce champ agit sur tout masse m plongée dans g, il comunique à m l' accélération g l'oblige ainsi de suivvre un chemin très particulier: une géodésique de l'espace
On voit de plus que ce champ dérive un potentiel, en effet si on pose
d'où
En calquant sur la théorie de Maxell en électomagnétique on pose simplement
où µ est une distribution de masse
et la loi du champ (a) devient
ΔΦ = 4 π G µ (a' )
La loi du champ c'est quelque chose qui lie entre la masse µ et le champ " Φ " , càd quelque chose qui nous permet de calculer le champ à partir de la masse.
et la loi du mouvement de vient
grad Φ = -γ (b' )
La loi du mouvement c'est quelque chose qui lie entre le champ et la trajectoire (représentée par l'accéleration) ....
Résumé , la gravitation newtonnienne est décrite par un champ de potentiel Φ et les lois se rérument en deux équations
ΔΦ = 4πGµ (a' ) ; équation du champ, lien entre champ et source
grad(Φ) + γ = 0 (b' ) ; équation du mouvement, lien entre champ et l'accélération
Dans le cas où µ est une distribution sphérique µ=µ(r) donc Φ=Φ(r) aussi, on peut trouver une solution de (a' ) en passant Δ en coordonnés sphériques
or par définition
car c'est intégral sur dr de la surface du sphère
; un cas particulier imprtant, pour une masse pontuel M est constant, alors on retrouve la potentielle newtonienne
L'éqution (b') montre l'accélération ne dépend pas de m , tel est le caractéristique du champ gravitationnel.
U(a) énergie potentielle de m plongé dans un champ gravitationnel g
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DMJ: 19/07/2018