Quadrivecteur
La notion de quadrivecteur n'est pas vraiment très clair, les définitions dans les livres c'est encore pire! et on ne voit pas vraiment comment montrer un 4-uplet est un quadivecteur !
Une grandeur physique est repésentée par 4 quantités
A = Ai=(A0 , A1 , A2 , A3) dans le repère xi
Cette même grandeur est repésentée par 4 autres quantités
A' = A' i=(A'0 , A' 1 , A' 2 , A' 3) dans un autre repère x' i
A et A' étant donnés, si A et A' sont reliés par L càd
A' = LA (vectoriel) ou
(tensoriel)
alors A est un quadrivecteur.
Rappel: A' i c'est la définition de Ai dans le repère x'i. Pour trouver A'i on observe Ai et calquer sur sa définition , ce qui n'est pas toujours évident.
Exp
Ai = (γc, γv) pour montrer (manuellement) que ce truc est un quadrivecteur n'est pas évident.
En observant la définition de Ai on trouve A'i = (γ'c, γ' v' )
avec
v' x = dx'/dt'
v' y = dy'/dt'
v' z = dz'/dt'
En suite il faut exprimer A'i sous la forme
ce qui n'est pas évident du tout !!!
Résumé
Soient A = (A0 , A1 , A2 , A3) dans le repère xi
et A' = (A'0 , A'1 , A'2 , A'3) dans le repère x'i
A est un quadrivecteur, si A et A' sont relié par: A'=LA
Autrement dit lorsqu'on fait un changement de repère xi -> x' i, A se transforme en A' = LA
Remarque important:
I. Un quadrivecteur sont des fonctions de coordonnés xi , dire que A = (1,-3,4,2) est un quadrivecteur ça veut rien dire car (1,-3,4,2) est constant.
II. Erreur souvent commis c'est la retrouvaille A'.
1. A on a
2. L on l'a
3. or
4. A' = LA (comme par définition X'=LX )
donc A est un quadrivecteur !!
Erreur est à la ligne 4
on n'a pas A' = LA comme pour X'=LX (X est un quadrivecteur par définition même) c'est justement on doit prouver cette relation, tant qu'on
n'a pas sûr à 100% que A est un quadrivecteur on n'a pas A' = LA
A', c'est la définition de A dans x' i, A' c'est une donnée du problème, on l'obtient en observant la définition de A dans x i
Les quadrivecteur connus
Comme il est longue (et difficile) de montrer quelque chose est un quadrivecteur, on préfère fabriquer des quadrivecteurs à partir des quadrivecteurs connus.
Voici les règles:
Ai est un quadrivecteur
1. kAi est un quadrivecteur , où k est un scalaire invariant
2. dAi/dτ (τ=temps propre) est un quadrivecteur
En fait il n'y a que 6 quadrivecteurs à savoir
quadrivecteur position
1. xi = (ct, x, y, z) = (ct, r)
C'est un quadrivecteur parce qu'on a:
x'i = Li α x α
2. quadrivecteur vitesse
ui = dxi/dτ
ui = γ dxi/dt = ( γc, γ v)
3. quadrivecteur impulsion-énergie
pi = mui
pi = ( E/c, p)
4. quadrivecteur force
fi = dpi/dτ
fi = γ dpi/dt = (γW/c , γf) où W = f.v travail
5. quadrivecteur courant
ji = ρ0ui
ρ0=charge volumique propre qui est un invariant scalaire
ji = ρ/γ ui = (ρ c , j) on sait que ρ/γ est un invariant scalaire car ρ= γρ0
6. quadrivecteur potentiel
Ai = (Φ/c , A) avec Φ=potentiel scalaire, A=potentiel vecteur
- En fait pourquoi ce truc là (Φ/c , A) est un quadrivecteur ??
- Voici l'une des raisons que (Φ/c , A) est un quadrivecteur.
Les équations de Maxwell conduisent aux 2 équations suivante:
la première
1/c². ∂²Φ/∂t² - ΔΦ = ρ/ε
comme εµ0c²=1 ça donne
1/c². ∂²(Φ/c)/∂t² - Δ(Φ/c) = µ0 ρc
et la deuxième
1/c². ∂²A/∂t² - ΔA = µ0j
càd
or l'opérateur 1/c². ∂²/∂t² - Δ (d'alembertien) est invariant par la transformation de Lorentz et que (ρc, j ) est un quadrivecteur donc
(Φ/c , A) est un quadrivecteur.
En effet
1.
2.
En identifiant 1. et 2. on a bien
ce qui montre bien que Ai = (Φ/c , A) est un quadrivecteur.
NOTE le fait d'identifier 1. et 2. revient à prendre zéro X=0 comme solution de
Remarque importante Certains disent qu'un quadrivecteur est un élément de l'espace Minkowski , mais non !!! un quadrivecteur est un élément particulier de Minkowski qui doit vérifier la relation:
Donc tout n'est pas quadrivecteur, sinon ça serait trop beau !!!
[1]
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DMJ: 19/07/2018