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Les tenseurs

Soit (V,ds²) un espace de Riemann, plongé dans l' esv euclidien Rⁿ
ds² = g_{α β} dx^αdx^β
où g_{α β}(x⁰,x¹, ..., xⁿ) sont des fonctions de xⁱ le paramétrage de V

Convention et définition

Soient c_i une base (covariante) de Rⁿ, et cⁱ la base contravariante associée
(cⁱ = g^iαc_α) et A un vecteur

sera noté

indice-haut=indice-bas ==> sommation et α , β ... (grec) indice de sommation (varie)
Aⁱ compsantes contravariantes de A


A_i compsantes covariantes de A

Changement de repère

Soit (x' ^j) un autre système de coordonnées curvilignes de V relié au (xⁱ) par les relations
x' ^j = x' ^j(xⁱ)
et son inverse (le système est bijectif)
xⁱ = xⁱ(x' ^j)

Notation A'

soit A = Aⁱ = (A⁰, A¹, ...,Aⁿ)
définit dans R càd dans le repère xⁱ
par définition
A' ^j = (A' ⁰, A' ¹, ...,A' ⁿ)
c'est le même A mais défini dans R' càd dans le repère x' ^j
exp:

Tenseurs

- Commençons par un cas simple: un scalaire
Une grandeur physique est repésentée dans le repère xⁱ par une fonction scalaire f(xⁱ) , dans le repère x' ^j par une autre fonction f'(x' ^j) et on a évidemment
f'(x' ^j) = f(xⁱ)
en effet
f(xⁱ) = f(xⁱ(x' ^j) ) qui est une fonction (différente de f bien sûr que l'on note f') de (x' ^j )

- Vecteur contravariant
Une grandeur physique A est repésentée dans le repère xⁱ par un vecteur contravariant Aⁱ , dans le repère x' ^j par un autre A' ⁱ et on n'a pas évidemment
A' ⁱ = Aⁱ
pour la simple raison que la base c_i change aussi quand on change de répère !! en effet dire que
A' ⁱ = Aⁱ
revient à dire
A = A' ⁱ c_i
ce qui est faux , car dans x' ⁱ l'écriture de A est
A = A' ⁱ c' _i
Il faut donc trouver une règle de changement pour Aⁱ, la règle est:
(*)

- De même pour un vecteur covariant
La règle de changement est


- Un tenseur, eh bien une sorte de "mélange, mixage" de vecteurs contravariants et covariants .... du genres
A^ij qui se tranforme en


A_jⁱ qui se tranforme en
(*)
ou encore A_ij qui se tranforme en


Voici une définition plus précise de tenseur. En un point M, on a une famille de fonctions A_i^jk(x^u) soit A' _i^jk(x' ^v) la même famille après le changement de repère
x' ^v = x' ^v(x^u)
et son inverse
x^u = x^u(x' ^v)
si on a


alors A_i^jk est un tenseur,
on dit que A_i^jk est un tenseur (₁²) 2-contravariant et 1-covariant

MEMO:
A' ==> à gauche
indice i,j,k ==>

Remarque

On a:

- En générale on doit respecter l'ordre des indices, càd dire qui est le 1er indice , 2ème indice , etc ... donc si néssesaire on écrit

Mais comme on utilise ce genre de produits


Il n'y a aucun inconvénient d'écrire
- Il est plus correct de dire A_i^jk est la composante (₁²) 2-contravariant et 1-covariant du tenseur A
car le tenseur A a plusieurs composantes

- Dans la relaion (*) , A' ⁱ fait partie des données du problème. En fait en a 4 données: Aⁱ, A' ⁱ, xⁱ, x' ⁱ

Régles de calculs

g_ij = e_i . e_j (e_i = ∂_iM)
g = dét(g_ij) < 0 (pour nous c'est toujours < 0) g_iαg^αj = δⁱ_j (i=j δⁱ_j=1 ,δⁱ_j=0 sinon , Kronecker) A_i = g_{i α} A^α
Aⁱ = g^{i α} A_α
Aⁱ_j = g_{j α} A^iα
A_i^j = g^{j α} A_iα


pour simplifier l'écriture on pose

Les symboles Christoffel

symétrique en ij

Tenseur de Ricci

C'est un tenseur symétrique R_ij = R_ji

La courbure slalaire de Riemann

Tenseur d' Einstein

on pose


(tenseur d'Einstein)
ou encore



(tenseur d'Einstein)
On note S_ij et non G_ij ceci pour éviter de confondre la constante gravitationnelle G=6,67.10^-11 avec G=g^ijG_ij

Dérivée covariante

D_α G_j^α = 0 Divergence de G_jⁱ est nul

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DMJ: 19/07/2018