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L'espace de Minkowski

Le problème c'est que la géométrie euclidien n'est pas suffissante pour d'écrire la Relativité Restreinte.

En effet, un triangle équilatéral en mouvement , le rapport entre 2 fois la hauteur sur son côté : 2h/a n'est plus constant !! à cause de l'effet de Lorentz : la contraction (apparente) de longeur dans le sens de mouvement.

Il faut donc trouver un autre espace et une autre géométrie pour d'écrire la relativité restreinte.
On se donne donc un esv de dim 4, E
X = xⁱ = (x⁰, x¹, x², x³)
avec
x⁰=ct, x¹=x, x²=y, x³=z
et une forme quadratique ds² :
ds² = (dx⁰)² - (dx¹)² - (dx²)² - (dx³)²
Le couple (E, ds²) se nomme espace de Minkowski
ds = se nomme l'intervalle

En plus de ds² nous avons aussi la transformation de Lorentz, qui nous permet de passer d'un repère à un autre xⁱ -> x'ⁱ

x' ⁰ = γx⁰ - γβx¹
x' ¹ = -γβx⁰ + γx¹
x' ² = x²
x' ³ = x³


En notation matricelle

En notation tensorielle

Où L = Lⁱ_α la matirce de Lorentz

Convention d'Einstein

- indice-bas et indice-haut=sommation
- α , β ... indice de sommation (indice muet) ils bougent
- i, j, k, ... indice fixe
on pose

g_ij se nomme la métrique de E
d'où ds² = g_{α β} dx^αdx^β g = dét(g_ij) = -1

Quadrivecteur

Avant de dire ce que c'est un quadrivecteur, rappelle la notation A', le symbole A', signifie la définition de A dans R' càd par rapport au repère x'ⁱ
Soit un 4-uplet
A = Aⁱ = (A⁰, A¹, A², A³)
A'ⁱ = (A'⁰, A'¹, A'², A'³) c'est la définition de A dans R' , par rapport au repère x' ⁱ

Exp:
1. Si g_ij = e_i.e_j défini dans R
alors g'_ij = e'_i.e'_j défini dans R'

2. Si Aⁱ = k.dxⁱ/dt défini dans R
alors A'ⁱ = ( k.dxⁱ/dt)' = k'.dx'ⁱ/dt' défini dans R'

3. Si Aⁱ = x^j.dxⁱ/dx^j défini dans R
alors A'ⁱ = x'^j.dx'ⁱ/dx'^j défini dans R'

3. Si A_ijdxⁱdx^j défini dans R
alors A'_ijdx'ⁱdx'^j défini dans R'

xⁱ = (x⁰, x¹, x², x³)
x'ⁱ = (x'⁰, x'¹, x'², x'³)

Les relations entre les coordonnées R et R'
xⁱ = xⁱ (x^{' j} )
et l'inverse
x'ⁱ = x'ⁱ (x^j )
L désigne la matrice de Lorentz

L' = L^-1 inverse de L

Aⁱ et A' ⁱ donnés, on dit que Aⁱ est un quadrivecteur si Aⁱ et A'ⁱ sont reliés par
A'ⁱ = Lⁱ_α A^α
Autrment dit à partir de la définition de A'ⁱ (par rapport x'ⁱ) il faut exprimer A'ⁱ en fonction de Aⁱ càd mettre A'ⁱ sous la forme A'ⁱ = KAⁱ et si K est la matrice de Lorentz L alors c'est gagner, Aⁱ est un quadrivecteur.

Composants contravariant, covariant

On pose : A_i = g_{i α} A^α
donc
A_i = (A⁰, -A¹, -A², -A³)
Aⁱ quadrivecteur A en composant contravariant (indice-haut)
A_i quadrivecteur A en composant covariant (indice-bas)

Produit scalaire

A.B = A_α B^α
en particulier
A² = A_α A^α

Les invariants ...

1. Le premier invariant c'est la vitesse de la lumière c.

2. Calculons le s'²
On a:
x' ⁰ = γx⁰ - βγx¹
x' ¹ = -β γx⁰ + γx¹
x' ² = x²
x' ³ = x³

Ce qui donne:
(x' ⁰)² - (x' ¹)² - (x' ²)² - (x' ³)² = (x⁰)² - (x¹)² - (x²)² - (x³)²
donc s² = s'² montre que s est aussi un autre invariant (donc ds aussi)

3. un autre invariant
ds² = c²dt² - dx² on pose x = vt
ds² = c²dt² - v²dt² = c²(1 - v²/c²)dt² ds = c√(1 - v²/c²) dt
ce qui montre
√(1 - v²/c²) dt
est un invariant puisque ds et c sont des invariants

Résumé
- Pour la Relativité Restreinte on travaille dans l' espace de Minkowski (E, ds²)
ds² = (dx⁰)² - (dx¹)² - (dx²)² - (dx³)²
- On utilise seulement des quadrivecteurs A, càd les éléments de E qui vérifient la relation : A' ⁱ = Lⁱ_α A^α
Où A' est la définition de A dans R' et Lⁱ_α la matrice de Lorentz

- Un quadrivecteur A est donné soit par ces composantes contravariants Aⁱ soit par ces composantes covariant A_i
- On passe de contra à cov par : A_i = g_{i α} A^α et Aⁱ = g^{i α} A_α
- Produit scalaire A.B = A_α B^α est un invariant
en particulier
A² = A_α A^α est un invariant

Voici les invariants à savoir

c
ds²
√(1 - v²/c²) dt = dt/γ = dτ = dt₀

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DMJ: 19/07/2018