Classique
1) Référentiel galiléen: R(x,y,z),t
2) Transformation de Galilée: R(x,y,z),t ==> R'(x',y',z'),t'
3) Le principe relativité Galilée: Une loi de la mécanique a la même forme dans tous les référentiels galiléens R
Caractéristiques d'une particule de masse m:
4) Impulsion:
5) Energie:
6) Loi fondamentale (Newton) :
7) Travail
8) La Gravitation (Newton):
Relativiste
1') Référentiel galiléen: R(x,y,z,t) espasce-temps dim=4
2') Transformation de Lorentz: R(x,y,z,t) ==> R'(x',y',z',t')
où
3') Le principe relativité Einstein: Une loi de la nature a la même forme dans tous les référentiels galiléens R, et la vitesse de la lumière est constante
Caractéristiques d'une particule de masse m:
4') Impulsion:
5') Energie:
6') Loi fondamentale (Newton) :
7') Travail
8') La Gravitation (Newton):
Note
Pour passer de la mécanique classique à la mécanique relativiste , Einstein a du remplacé toutes les équations sauf la dernière, la 8ième équation (la gravitation), il a beaucoup du mal à la remplacer ... il lui a falu 10 ans de travail acharné pour réussir!!!
Voyons comment on remplace ces équations
(1)->(1'): Espace -> Espace-temps
(2)->(2'): TG -> TL
(3)->(3'): Pricipe Galilée -> Principe Einstein
Une particule P (ou un système) est caractérisée par un paramètre S nommé action, l'action est une intégrale par rapport au temps dt
S = ∫ L(x,v) dt
L nommé le lagrangien de la particule.
En Relativité Restreinte on doit avoir S = S' càd invariant par la tranformation de Lorentz
La première chose à faire c'est qu'il faut trouver le lagrangien d'une particule relativiste. Allons y
on sait que dt n'est pas un invariant par contre si on prend √(1-v²/c²)dt c'est un invariant donc on ne va pas casser la tête on va prendre quelque chose de très simple
S = ∫ k√(1-v²/c²)dt où k est une constante à déterminée, S ainsi choisi est bien sûr un invariant
La constante k est déterminé de façon à retrouver L = mv²/2 (la lagrangien classique) quand c = ∞ pour ça on va faire un développement limité sur v²/c² (en zéro puisque c=∞) et ça nous donne
S = ∫ k(1-v²/2c²)dt
S = ∫ (k-kv²/2c²)dt virons le k en trop qui ne sert à rien , on prend L encore plus simple c'est tout!
S = ∫ -kv²/2c²dt
donc L = -kv²/2c² = mv²/2 ====> k = -mc²
finalement
L = -mc²√(1-v²/c²)
Par définition l'impulsion de P est:
p = ∂vL (Notation: ∂v = ∂/∂v)
et son énergie:
E=v.p - L
ce qui donne l'impulsion de P :(4) -> (4'):
p = ∂vL = ∂v(-mc²√(1-v²/c²)) =
car v² = v.v
puis son énergie: (5) -> (5'):
E=v.p - L
(6) -> (6'): on réécrit (6) f = mγ = m dv/dt = d(mv)/dt = dp/dt
(7)->(7'): on dérive E par rapport au tempt t de la relation:
E² = p²c² + m²c4
Il reste la dernière l'équation (8) la gravitation, pour la changer il faut passer à la Relativité Générale !!!
Commentaire
Ces changements changent radicalement nos pensés et nos habitudes ...
1'. Espace-temps -> pas facile à convevoir
2'. Le temps, la longeur, la simultalité .... dépend de l'observateur -> difficile à accepter
3'. Ok normal et logique
4'. Pourquoi pas ?, rien de spécial
5'. Nouvelle énergie E=mc² quand la particule est au repos (classique v=0 ==> E=0)
6'. La variation de p qui produit la force, cause de mouvement (classique cause de mouvement=variation de vitesse)
7'. Rrien à dire
8'. ===> Relativité Générale
La Relativité Restreinte travaille dans l'espace de Minkowski on a unifié les quantités suivantes:
4'+5' ===> quadrivecteur énergie-impulstion pi = (E/c, p)
6'+7' ===> quadrivecteur force fi = (γW/c, γf)
et on a la relation
dpi/dτ = fi (τ=temps propre)
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DMJ: 19/07/2018