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Tenseurs

Un tenseur est une sorte de mélange de vecteurs contravariants et covariants.

Définition: Une famille de nombres indexée, repésente dans la base c_i par A_i^jk et A'_i^jk dans la base c'_i

si on a la relation suivante:

Alors A_i^jk est un tenseur

On dit que A_i^jk est un tenseur d'ordre 3 (3 indices) et de type (₁²) 2-contravariant et 1-covariant

Exemple de tenseur:
g_ij est un tenseur, en effet
g'_ij = c'_i. c'_j
or
c'_i=Q_i^αc_α
g'_ij = Q_i^α Q_j^βc_α. c_β
g'_ij = Q_i^α Q_j^β g_αβ
ce qui montre g_ij est bien un tenseur

Opérations sur les tenseurs

Les règles de calcul sur les tenseurs n'ont rien d'autres que les règles de manipulation des indices

1. Egalité :
comme les matrices
2. Produit par un scalaire a :
comme les matrices
3. Sonme :
comme les matrices
4. Produit :

5. Contraction :
Soit un tenseur
la contraction i=j

alors A^k est un tenseur

Démontration
un tenseur ==>

or

donc




ce qui prouve que A^k est un tenseur

Attention !! : Aⁱ ≠ A_k^ij car ils ne sont pas du même monde !! (même ordre)

6. Monter l' indice i , A_ij :


7. Descendre l' indice i , A^ij:


8. Simplification :


Un critère de tensorialité :

A_k^ij est un tenseur si quels que soient x^k, y_i, z_j le b est un scalaire où:
b = A_α^βγ x^α y_β z_γ

Corolaire:
A_k^ij est un tenseur si quel que soit x^k le B^ij est un tenseur où:
B^ij = A_α^ij x^α

A_ij^k est un tenseur si quel que soit x_k le B_ij est un tenseur où:
B_ij = A^α_ij x_α

Commentaire

Finalement le calcul tensoriel revient à la manipulation des indices, donc il suffit d'apprendre bien ces règles c'est tout .

I. Un tenseur comme

il y a plusieurs façon d'écrire les indices comme par exemple

pour voir tout ça, on va définir une fonction f(i,j,k,L,M) de {0,1,2,...,n}⁵ dans R , avec la convention suivante: majuscule=indice-haut exemple


On générale on a

On va faire une convention: les majuscules avant, tous les minuscules derrière et les indices haut et bas écrits dans leur ordre


II. Parfois les indices ne jouent pas le même rôle, il faut donc les distincguer en mettant une virguille ',' pour les séparer en groupe.
par exemple

les (ij) forme un groupe et le (k) forme un autre groupe. exp

si on écrit

on ne sait pas qui porte le signe moins '-' !!!

III. Bien que les règles de calculs tensoriels ne sont pas vraiment compliquées, mais il faut quand même prendre des précautions

a) Quand il y a plusieurs sommes, il faut noter les indices de sommation différents, puisque les sommes sont indépendantes les unes les autres

b) Quand on monte ou descend un indice, il faut changer cet indice dans toute l'expression, sinon on aura des erreurs, par exemple pour j




c'est bizarre, pour une égalité on doit avoir les même indices !!!!

c) Parfois il faut changer les indices de sommation avant de remplacer, par exemple


dans (2) on change j=m avant de remplacer dans (1)

Dans (1) 'j' est l'indice fixe, alors que dans (2) 'j' est l'indice libre (l'indice de sommation, qui bouge) il faut donc le changer avant de remplacer.

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DMJ: 19/07/2018