Symboles Christoffel
En chaque point M de E°, on attache un tenseur Aijk(M), dont les composantes s'expriment dans le repère local (M,ei). On veut comparer
Aijk(M) avec ce même tenseur Aijk(dM) mais en dM, un point voisin de M, ce tenseur Aijk(dM) s'exprime dans le repère (dM,dei)
Pour pouvoir les comparer il suffit de connaitre comment varie le repère (M,ei), comment (M,ei) passe en (dM,dei)
Pour ça, on exprime dM, dei dans la base ei
Mais d'abord on pose: ∂iej = Γijkek (ej est en fonction des xi, ej(xi))
par définition Γijk s'appelle symbole Christoffel
Ici on voit qu'il y a deux groupes d' indices dans Γijk , le groupe (ij) et k car ils ne jouent pas le même rôle.
Quand il y a une distinction entre les indices il faut les respecter
On savait déjà
dM = dxiei
on pose
dej = ωjkek
mais dej c'est aussi
dej = ∂iej dxi
dej = Γijk dxi ek
d'où
ωjk = Γijk dxi
Résumons: pour connaitre dej il suffit de connaitre Γijk
∂i∂jM = ∂j∂iM théorème de Schwarz
∂iej = ∂jei
Γijk = Γjik symétrique en ij (1)
On voit bien qu'il y a deux groupes d' indices dans Γijk , le groupe (ij) et k car
on ne peut pas permuter i et k par exemple
gij = ei . ej
∂kgij = (∂kei) . ej + ei . (∂kej)
∂kgij = (Γkiheh) . ej + ei . (Γkjmem)
∂kgij = Γkih(eh . ej) + Γkjm (ei . em) propriété du produit scalaire
∂kgij = Γkihghj + Γkjmgim (*)
on descend les indices en respectant leur distinction (les groupes)
∂kgij = Γki,j + Γkj,i (2)
Γkih ⇒ On doit grouper les indices (ki) ensemnle, car on ne peut pas permuter i et h
Dans ∂kgij on permute les indices ça donne
∂igjk = Γij,k + Γik,j (3)
∂jgki = Γjk,i + Γji,k (4)
on fait (2) + (3) - (4) et en tenant compte de (1) on trouve
2Γki,j = ∂kgij + ∂igjk - ∂jgki
Note: on a ∂k +∂i dans le même groupe indice, le -∂j c'est ce lui qui n'est pas dans le groupe.
Voyons si Γijk est un tenseur ?
Rappel:
on a:
et par définition
d'où
Ce qui prouve que Γijk n'est pas un tenseur ?
Résumé:
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DMJ: 19/07/2018