Repère local ou naturel
On va travailler dans E° l'espace affine associé à E. Soit M un point de E°
M(ui) en coordonnées cartésiennes.
uk = uk(xi)
M(xi) en coordonnées curvilignes.
Donc si on pose:
Les ei forment une base (locale) parce que le déterminant de la matrice ∂uk/∂xi est non nul, dét(∂uk/∂xi) ≠ 0 .
On voit que la base ci s'est transformée en base ei suivant la loi
Par déninition le repère local (ou naturel) en M est (M,ei)
On a dM = dxαeα , les dxi sont donc les coordonnées de dM dans ce repère (M,ei)
Changement du repère local
Tout changement de coordonnées curvilignes (changement de la paramétage de la surface, de la variété), entrainera le changement du repère local (plus précisement de base locale, le point M ne bouge pas)
en effect, soit
x'j = x'j(xi)
xi = xi(x'j)
et
On passe donc de (M,ei) à (M,e'i) par ces formules
Teuseur affine (champ de tenseurs)
à chaque point M on peut attacher un tenseur A(M) (un champ de tenseurs) , on peut exprimer ses composantes dans le repère local (M,ei)
Voici une définition de tenseur.
En un point M, on a une famille de fonctions Aijk(xu) et soit A'ijk(x' v) la même famille après le changement de repère xu → x' v
x' v = x' v(xu)
et son inverse
xu = xu(x' v)
si on a
alors Aijk est un tenseur
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DMJ: 19/07/2018