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GRAPHE

ARITHMETIQUE

Calcule dans Z

Les beaux théorèmes

CAVERNE D'ALIBABA

LIENS

Exo1

Soit a,b premier entre eux pgcd(a,b) = (a,b) = 1. Montrer que (a+b,ac)=1

Solution
1. On va montrer la propriétée suivante:
(a,x)=1 et (a,y)=1 ==> (a,xy)=1

Ce n'est pas bien compliqué, il suffit d'utiliser le théorème de Besouz
(a,x) = 1 ==> ua + vx = 1
= (a,y) = 1 ==> u'a + v'y = 1
(ua + vx) (u'a + v'y) = 1
uu'a² + uv'ay + vxu'a + vv'xy = 1
pa + qxy = 1 ==> (a,xy) = 1

2. On pose : (a+b,a) = m
m|a et m|(a+b) ==> m|b
m|a et m|b ==> m|(a,b) ==> m|1 ==> m=1
donc
(a+b,a)=1
on fait la même chose pour b
(a+b,b)=1
Puis d'après (1)
(a+b,ab) = 1 terminuss.....

Exo2

Soit S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n
Montrer que S_n n'est pas un entier pour n≥2

Solution
On va mettre S_n sous la forme d'une fraction S_n = a/b avec b le dénominateur commun b = ppcm(2,3,4,..,n)
puis on examine a et b

on va mettre b sous la forme
b = 2^k.p , où k = le plus grand puissance de 2 et k>0 puisque n≥2, et p = impair (on met les '2' devant)

Voyons maintenant le a
Quand on réduit au même dénominateur commun, on multiplie les termes 1/q de la somme par b = 2^k.p , a comporte donc

1. 2^k.p/q = 2^k.p (c'est le terme 1)
2. ceux qui modifient 2^k mais ne touchent pas p du genre 1/8 mais il reste encore des puissances de 2 puisque 2^k est le plus grand. On obtient donc 2^k.p/q = 2^k'.p

3. ceux qui modifient p mais ne touchent 2^k pas du genre 1/9 On obtient donc 2^k.p/q = 2^k.p'

4. ceux qui modifient 2^k et aussi p du genre 1/6 mais il reste encore des puissances de 2 puisque 2^k est le plus grand. On obtient donc 2^k.p/q = 2^k'.p'

5. et un seul qui simplifie 2^k c'est le terme 1/2^k On obtient donc 2^k.p/q = p

finalement
a = 2^k.p + 2^k'.p + 2^k.p' + 2^k'.p'+ p
a = pair + impair = impair

numérateur=impair et dénominateur=pair
donc S_n ne peut pas être un entier

Exo3

Calluler intégrale:

Solution
On fait

On passe en coordonnées polaires
x=rcost
y=rsint

x -> 0 à infini
y -> 0 à infini
donc le domaine d'intégration c'est D (voir fig)

les bordes deviennent
r -> 0 à infini
t -> 0 à π/2
dxdy = rdr dt (dxdy = |jacobien|.drdt)

Pour la beauté des choses, cette intégrale s'exprime en 4444