Les nombres complexes

Lorsqu'on résouds une équation de seconde degré ax²+bx+c=0 avec a,b,c dans R parfois il n'y a pas de solution. On se demande s'il existe un ensemble plus grand que R qui contient tous les solutions des équations du 2eme degré.

Il y a plusieurs façon de constuire C les nombres complexes, traditionnellement on le construit à partir de R² avec les règles de calculs suivantes:
- addition: (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d)
- produit: (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)
- multiplication par un scalaire: k(a,b) = (ka,kb)
Avec ces règles (R²,+,x) forme un corps commutatif, et contient R, en effet

on a: (a,b) = (a,0)+(0,b) on le coupe en deux
(a,0) = a(1,0) et (0,b) = b(0,1)
(a,b) = a(1,0)+b(0,1)
calculons (0,1)² = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1(1,0)
si on pose (a,b)=z , (0,1)=i et on identifie (1,0)=1 on a donc une nouvelle l'écriture
z = a+ib avec i² = -1 , C contient R il suffit de prendre b=0
donc les nombres complexes c'est l'ensemble:
C = { z = a+ib , i²=-1 et a,b ∈R }

Mais on peut aussi construire des nombres complexes à partir des matrices.
Soit C l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 de la forme


On vérifie que (C,+,x) forme un corps commutatif et qu'il contient R
Là aussi on coupe la matrice en deux:

si on pose

et identifie

on a donc une nouvelle l'écriture
z = a+ib avec i² = -1 , C contient R il suffit de prendre b=0

REMARQUE: La 1er construction on n'a besoin que de R, mais on parachute les règles de calculs. Dans la 2eme construction les règles de calculs on les a mais il faut connaitre les matrices.

Maintenant tous les équations du 2eme degré ont des solutions dans C, en effet

Exemples

z = 3+2i, z' = 1+i , zz' = (3+2i)(1+i)=3+3i+2i+2i² = 3+5i-2 = 1+5i
on multiplie normalement en respectant i²=-1
z+z' = 4+3i on additionne normalement

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DMJ: 19/07/2018