Lois internes

Soit E un ensemble muni une loi notée '.' , on dit que la loi '.' est interne si:
a∈E et b∈E ⇒ a.b∈E , quand il n'y a pas d'ambiguité on écrit ab au lieu de a.b (pour aller plus vite simplement)
Une loi interne peut avoir plusieurs propriétés:
- (ab)c = a(bc) associativité
- ab = ba commutativité
- avoir un élément neutre e : ea = ae = a
- quand l'élément neutre e existe, il peut arriver que tout élément a possède une symétrique a' : aa' = a'a = e
parfois on note l'élément symétrique a' par a^-1 et l'élément neutre e par 1 c'est pratique car on a
aa^-1 = 1 c'est plus parlant que aa'=e et traditionnellement quand la loi '.' est commutative on la note '+' et la symétrique a' de a sera notée -a mais n'oublez pas que ce sont des simples notations

Exemples

Le plus simple est: E=Z et '.' = '+' ⇒ (Z,+): a+b
- (Q*, x): a x b
- (S_n,o): f(x) o g(x), S_n = les permutations

- E = ]-1,1[ muni la loi '.' défini par a.b = (a+b)/(1+ab) c'est une loi interne (pas évident!)
Montrons que cette loi est interne , d'abord il faut montrer que cette expression a un sens, càd 1+ab ≠ 0
Allons y:
|a| < 1 et |b| < 1 ⇒ |a||b| < 1 ⇒ |ab| < 1
-1 < ab < 1 on prends la 1er inégalité -1 < ab ⇒ 0 < 1 + ab
Montrons maintenant que la loi est interne.
|a| < 1 ⇒ -1 < a < 1
cas : 0 ≤ a < 1 ⇒ 0 ≤ a² < 1
cas : -1 < a < 0 ⇒ 1 > -a > 0 ⇒ 1 > (-a)² > 0
Donc finalement |a| < 1 ⇒ a² < 1
a² < 1
calculons
(a+b)²-(1+ab)² = a² + 2ab + b² -1 -2ab -a²b²
b²(1-a²) + a² -1 = (a² -1)(1-b²) ≤ 0
donc
(a+b)² < (1+ab)²
|a+b| < |1+ab|
|(a+b)/(1+ab)| < 1 ouffff

- R et la loi '.' : a.b = a+b-ab (associative, élément neutre)
- R et la loi '.' : a.b = ln(e^a+e^b) (associative, élément neutre)

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DMJ: 01/01/2018